Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất ở chương này, để có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp các kiến thức hình học không gian đã được học và ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối đa diện quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cách và chứng minh hệ thức.
Giả sử có 1 khối hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c đều là những số dương. Khi đó thể tích của nó là: \(V=a.b.c\).
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH\)
Trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểm . Ta có: .
Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy với chiều cao của khối lăng trụ đó: \(V=S_{day}.h.\)
\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.C'H\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, \(AB=a \sqrt 2, AC=a \sqrt 3\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB=a \sqrt 3.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a.\)
Suy ra: \({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác SAB vuông tại A có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{6}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt2\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SC=a \sqrt5\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Diện tích ABCD: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}.\)
Ta có: \(AC = AB.\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a.\)
Tam giác SAC vuông tại A nên: \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\).
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.2{a^2}.a = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng \(a\sqrt3\), cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC.
O là trọng tâm tam giác ABC suy ra \(SO \bot (ABC).\)
Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt3\) suy ra:
\(AM=a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)
\({\rm{AO = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}.AM = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a\).
\({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}.\sqrt 3 }}{4}\).
Tam giác SAO vuông tại A nên ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a.\sqrt 3.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{4}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
\(SA \bot (ABCD)\) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt mặt phẳng (ABCD).
Do đó: \(\widehat {(SC,(ABCD))} = \widehat {(SC,AC)} = \widehat {SCA} = {60^o}.\)
Diện tích đáy là: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {a^2}.\)
Tam giác SAC vuông tại A có \(AC=a \sqrt2, \widehat {SCA} = {60^0} \Rightarrow SA = AC.\tan {60^o} = a\sqrt 6.\)
Vậy thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 6 = \frac{{{a^3}.\sqrt 6 }}{3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt2,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(AM \bot BC\).
Mặt khác: \(SA \bot BC\) do \(SA \bot \left( {ABC} \right).\)
Nên: \(BC \bot (SAM) \Rightarrow SM \bot BC.\)
Suy ra: \(\widehat {((SBC),(ABC))} = \widehat {(SM,AM)} = \widehat {SMA} = {45^o}\).
Tam giác ABC vuông cận tại A có \(BC=a\sqrt2\) suy ra:
\(AB = BC = a\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \(\Rightarrow {{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Tam giác SAM vuông tại A có \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(\widehat {SMA} = {45^o}\)
Suy ra: \(SA = AB.\tan {45^o} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{{12}}\).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, \(AC=a\sqrt3\), cạnh A'B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC=\sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.\)
Suy ra: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Tam giác A'AB vuông tại A nên: \(A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 3 .\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'A = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt3\), hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A'A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Gọi M là trung điểm của BC.
G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: \(A'G \bot (ABC)\).
Do đó AG là hình chiếu vuông góc của AA' lên mặt phẳng (ABC).
Suy ra: \(\left( {\widehat {{A^/}A,(ABC)}} \right) = \widehat {{A^/}AG} = {30^0}.\)
Tam giác ABC đều cạnh \(2a\sqrt3\) nên: \({S_{ABC}} = {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3{a^2}\sqrt 3.\)
Tam giác A'AG vuông tại G có \(\widehat A = {30^0},AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a.\)
Suy ra: \(A'G = AG.\tan {30^0} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy: \({V_{ABC.{A'}{B'}{C'}}} = {S_{ABC}}.{A'}A = 6{a^3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt3.\)Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.
Lời giải:
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S.
Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có:
\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{{\rm{SA}}}}{{{\rm{SA}}}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = 1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
Suy ra: \({V_{S.AMN}} = \frac{{{V_{S.ABC}}}}{4} = \frac{{\frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\)
Và: \({V_{A.BCNM}} = \frac{3}{4}.{V_{S.ABC}} = {\frac{{3a}}{4}^3}.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}}\).
Ta có:
\({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MCD}} + {V_{S.MNC}}\) và \({V_{S.ABCD}} = {V_{S.ACD}} + {V_{S.ABC}}\).
Khi đó: \(\frac{{{V_{S.MCD}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {V_{S.MCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\)
Mặt khác: \(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\)
Từ trên suy ra \({V_{S.MNCD}} = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\).
Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất ở chương này, để có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp các kiến thức hình học không gian đã được học và ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối đa diện quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cách và chứng minh hệ thức.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 25 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12
Bài tập 1.10 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.11 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.12 trang 18 BT Hình học 12
Bài tập 1.13 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.14 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.15 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.16 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12
Bài tập 15 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.
Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính thể tích V của khối tứ diện AB’C’D theo a.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tính tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC.
Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng V. Tính thể tích \(V_1\) tứ diện A'ABC' theo V.
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC); AC=AD=4; AB=3; BC=5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; \(BC = 9m,AB = 10m,AC = 17m\). Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m3. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
\(\frac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\)
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với SD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tình thể tích khối tứ diện CDEF theo a.
Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thằng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài B trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi.
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.
a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE
b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt của nó là một số không đổi.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = 2a, AA′ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.
a) Tính thể tích khối chóp M.AB′C
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A′B′ và B′C′. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D′.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc cạnh BB′ và DD′ sao cho \(BE = \frac{1}{2}EB',DF = \frac{1}{2}FD'\). Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ thành hai khối đa diện (H) và (H′). Gọi (H′) là khối đa diện chứa đỉnh A′. Hãy tính thể tích của (H) và tỉ số thể tích của (H) và (H′).
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′).
Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi. Thể tích của khối chóp S.ABC có thay đổi hay không nếu:
a) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) ;
b) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy ;
c) Đỉnh S di chuyển trên một đường thẳng song song với một cạnh đáy ?
Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước.
Tính thể tích của khối hộp ABCD.A′B′C′D′, biết rằng AA′B′D′ là khối tứ diện đều cạnh a.
Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b, \(\widehat {ACB} = {60^0}\). Đường thẳng BC′ tạo với mp (AA′C′C) một góc 300
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC.
b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB′ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A′B′C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho khối chóp tam giác \(S.ABC\). Trên ba đường thẳng \(SA, SB,SC\) lần lượt lấy ba điểm \(A’, B’, C'\) khác với \(S\). Gọi \(V\) và \(V’\) lần lượt là thể tích của các khối chóp \(S.ABC\) và \(S.A'B'C'\). Chứng minh: \({V \over {V'}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(H\) và \(H’\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) và \(A’\) trên mp \((SBC)\). Khi đó \(3\) điểm \(S, H, H’\) thẳng hàng (vì chúng là hình chiếu của ba điểm thẳng hàng \(S, A, A’\) trên mp \((SBC)\)) và vì \(A’H’ // AH\) nên \({{AH} \over {A'H'}} = {{SA} \over {SA'}}\). Ta có:
\({{{S_{SBC}}} \over {{S_{SB'C'}}}} = {{{1 \over 2}SB.SC.sin\widehat {BSC}} \over {{1 \over 2}SB'.SC'.sin\widehat {B'SC'}}} = {{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)
Suy ra \({V \over {V'}} = {{{V_{A.SBC}}} \over {{V_{A'.SB'C'}}}} = {{{1 \over 3}{S_{SBC}}.AH} \over {{1 \over 3}{S_{SB'C'}}.A'H'}} = {{SA} \over {SA'}}.{{SB} \over {SB'}}.{{SC} \over {SC'}}\)
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B’C\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AA’\). Mặt phẳng đi qua \(M, B’, C\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là \(a\), độ dài cạnh bên của lăng trụ là \(b\).
Kẻ đường cao \(CH\) của tam giác \(ABC\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot AA'\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow CH \bot \left( {ABB'A'} \right)\)
\( \Rightarrow CH \bot \left( {ABB'M} \right)\).
\( \Rightarrow {V_{C.ABB'M}} = \frac{1}{3}CH.{S_{ABB'M}}\)
+) \(CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
+) Diện tích hình thang \(ABB’M\) là: \({S_{ABB'M}} = {1 \over 2}\left( {AM + BB'} \right)AB\) \( = {1 \over 2}\left( {{b \over 2} + b} \right).a = {{3ab} \over 4}\)
Thể tích khối chóp \(C.ABB’M\) là: \({V_{C.ABB'M}} = {1 \over 3}{S_{ABB'M}}.CH \) \(= {1 \over 3}{{3ab} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 8}\)
Lại có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}CH.AB\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' \) \(= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.b = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 4} \)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {V_{CC'ABM}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABB'M}}\\
= \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{4} - \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{8} = \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{8}\\
\Rightarrow \frac{{{V_{C.ABB'M}}}}{{{V_{CC'ABM}}}} = 1
\end{array}\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB = AC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC. Mặt phẳng (SAB) hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Câu trả lời của bạn
Chứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số \(k\) biến tứ diện \(ABCD\) thành tứ diện \(A’B’C’D’\)a thì \({{{V_{A'B'C'D'}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {\left| k \right|^3}\)
Câu trả lời của bạn
Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD).
Giả sử phép vị tự tỉ số k biến A, B, C, D, H lần lượt thành A’, B’, C’, D’, H’.
Hơn nữa, theo tính chất của phép vị tự thì:
A’H’ song song hoặc trùng với AH;
Và (B’C’D’) song song hoặc trùng với (BCD)
Mà AH ⊥ (BCD) nên A'H'⊥(B'C'D').
Vậy A’H’ là đường cao của tứ diện (A’B’C’D’) (1)
Mặt khác, dễ thấy: \(\widehat {CBD} = \widehat {C'B'D'} = \varphi \) (2)
Hơn nữa, cũng từ tính chất của phép vị tự ta có:
\(\frac{{A'H'}}{{AH}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{B'D'}}{{BD}} = \left| k \right|\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{B'C'D'}}.A'H'}}{{\frac{1}{3}{S_{BCD}}.AH}}\\ = \frac{{{S_{B'C'D'}}.A'H'}}{{{S_{BCD}}.AH}}\\ = \frac{{\frac{1}{2}B'C'.B'D'\sin \varphi }}{{\frac{1}{2}BC.BD\sin \varphi }}.\frac{{A'H'}}{{AH}}\\ = \frac{{B'C'}}{{BC}}.\frac{{B'D'}}{{BD}}.\frac{{A'H'}}{{AH}}\\ = {\left| k \right|^3}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
bằng căn 38 nha
căn 38
căn 38
V=a3√38
https://meet.google.com/hsn-kprh-agh
câu khó nhờ
(SAB) VÀ (SAC) CÙNG VUÔNG GÓC (ABC)MÀ: (SAB)∩(SAC)=SA=>SA vuông góc đáyGọi I là trung điểm BC=>AI vuông góc BCSI vuông góc BC do tam giác SBC cân tại S=>((SBC),(ABC))=(SI.AI)=ˆSIA=60 độABC đều cạnh a=>SABC=a2√34; AI=a√32=>SA=AI.tanSIA=a√32.tan60=3a2VS.ABC=13.SA.SABC=13.3a2.a2√34=a3√38Vậy V=a3√38
Câu trả lời của bạn
a mũ 3 căn 2 tất cả chia 6
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD , góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy bằng 60 độ, độ dài cạnh đáy bằng a . (α) qua A vuông góc với SC . Tính thiết diện tạo bởi (α) và mặt đáy
Câu trả lời của bạn
Khó quá bạn!!
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{S_{ABCD}} = 3{a^2}\\
SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {16{a^2} - 6{a^2}} = a\sqrt {10}
\end{array}\)
Vậy \(V = \frac{1}{3}3{a^2}a\sqrt {10} = {a^3}\sqrt {10} \)
Câu trả lời của bạn
A. V=AB. BC. AA'
B. V=\(\frac{1}{3}\)AB.BC.AA'
C. V=AB. AC. AD
D. V=AB. AC. AA'.
Câu trả lời của bạn
Ta có V=AB. BC. AA'.
Câu trả lời của bạn
Từ giả thiết ta thấy \(OA \bot \left( {OBC} \right)\) và OBC là tam giác vuông nên thể tích cần tìm là:
VO.ABC = \(\frac{1}{3}\)OA.SOBC = \(\frac{1}{6}\)OA.OB.OC = \(\frac{1}{6}\)abc
Câu trả lời của bạn
Thể tích khối lăng trụ cần tìm:
\(V = AA'.{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AA'.AB.AC = {a^3}\)
Câu trả lời của bạn
Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2 là V=23=8.
Câu trả lời của bạn
Lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5 nên có chiều cao h=5.
Thể tích khối lăng trụ là: V=SABCD. h=42. 5=80.
Câu trả lời của bạn
Thể tích khối lăng trụ V = S. h = a2. 3a = 3a3
Câu trả lời của bạn
Diện tích đáy của hình chóp là S=a².
Chiều cao của hình chóp là h = \(\frac{{3V}}{S}\) = 18a.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Gọi h là chiều cao của khối lăng trụ, ta có: 16h = 58 => h = \(\frac{{58}}{{16}} = \frac{{29}}{8}\) (cm).
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *