Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em dạng của phương trình mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng. Bên cạnh đó là các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, phương pháp xác định vị trí tương đối của mặt phẳng. Ngoài ra trong bài học này các em còn được tìm hiểu khái niệm hoàn toàn mới là tích có hướng giữa hai vectơ và những ứng dụng.
Cho hai vectơ \(\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\) và \(\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)\), vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\) được gọi là tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) được xác định như sau:
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_1}}\\
{{y_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {z_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_1}}\\
{{z_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {x_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_1}}\\
{{x_2}\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} {y_2}}
\end{array}} \right|} \right) = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})\)
Vectơ \(\overrightarrow n\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b.\)
Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ \(\vec n\) khác \(\vec 0\) có giá vuông góc với (P) thì \(\vec n\) được gọi là Vectơ pháp tuyến của của (P).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \(Ax+By+Cz+D=0, \,\, A^2+B^2+C^2\neq 0)\).
Với \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\) là Vectơ pháp tuyến (VTPT).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm \({{M_0}({x_0};{y_0};{z_0})}\), nhận vectơ \({\vec n = (A;B;C)}\) làm VTPT có phương trình tổng quát là:
\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình tổng quát là: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).
Cho hai mặt phẳng \((\alpha _1) \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\) có một VTPT \(\vec{n_1}=(A_1;B_1;C_1)\) và \((\alpha _2) \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\) có một VTPT \(\vec{n_2}=(A_2;B_2;C_2)\).
Khi đó vị trí tương đối giữa \((\alpha_1)\) và \((\alpha_2)\) được xác định như sau:
Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\): \((\alpha _1)//(\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}\).
Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\) thì \((\alpha _1)\equiv (\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}= \frac{D_1}{D_2}\).
Nếu \(A_2,B_2,C_2\neq 0\) thì \((\alpha _1),(\alpha _2)\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}\\ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\\ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \end{matrix}\).
Cho mặt phẳng (P): \(Ax+By+Cz+D=0 \ \ (A^2+B^2+C^2\neq 0)\)
và điểm \(M(x_0,y_0,z_0)\).
Khoảng cách từ M đến (P) được xác định bởi công thức: \(d(M;(P))=\frac{\left | Ax_0+Ay_0+Az_0+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
Cho hai mặt phẳng \((P)\;{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) và \((Q)\;{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) có VTPT lần lượt là:
\(\vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1)\) và \(\vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2)\), khi đó:
\(cos\widehat {(P,Q)} = \left| {cos({{\vec n}_P};{{\vec n}_Q})} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}\)\(=\frac{\left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .\sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}\)
Chú ý:
Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2).
a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} ( - 2;3;1),\overrightarrow {AC} ( - 3;4;2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (2;1;1) \ne \overrightarrow 0\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}\) không cùng phương do đó A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác.
b) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
c) \(AH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {{1^2} + {{(4 - 3)}^2} + {{(2 - 1)}^2}} }} = \sqrt 2\).
Cho 4 điểm: A(1;0;1), B(-1;1;2), C(-1;1;0), D(2;-1;-2)
a) Chứng minh rằng: A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
c) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;1} \right);\) \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;1; - 1} \right)\,;\,\overrightarrow {AD} = \left( {1; - 1; - 3} \right).\)
\(\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 2 \ne 0.\)
Vậy 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
Suy ra A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{3}\)
Mà: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{BCD}}.AH \Rightarrow AH = \frac{1}{{{S_{BCD}}}}.\)
\(\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 4; - 6;0} \right) \Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right| = \sqrt {13} .\)
Vậy: \(AH = \frac{1}{{\sqrt {13} }}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và vuông góc với đường thẳng AB với \(A(3;1; - 2):B(4; - 3;1).\)
b) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và song song với mặt phẳng (Q): \(4x - 2y + 3z - 5 = 0.\)
c) (P) đi qua điểm \({M_0}( - 2;3;1)\) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0.
d) (P) đi qua 3 điểm \(A(2;0; - 1);B(1; - 2;3);C(0;1;2).\)
a) Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} = (1; - 4;3).\)
\(1(x + 2) - 4(y - 3) + 3(z - 1) = 0\)\(\Leftrightarrow (P):x - 4y + 3z + 11 = 0.\)
Mặt khác: \({M_0}( - 2;3;1) \in (P) \Rightarrow D = 11\). Suy ra: \((P):x - 4y + 3z + 11 = 0.\)
b)
\((P):4(x + 2) - 2(y - 3) + 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):4x - 2y + 3z + 11 = 0.\)
\({M_0}( - 2;3;1)\in(P)\Rightarrow D=11\Rightarrow (P):{\rm{4x - 2}}y + 3z + 11 = 0.\)
c)
Ta có: \({\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;2)}\\ {(P) \bot (Q) \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} \bot VTPT\overrightarrow {{n_{(R)}}} = (2;1; - 1)} \end{array}} \right\}}\)
Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là: \({\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{(Q)}}} ,\overrightarrow {{n_{(R)}}} } \right] = (1;5;7)}.\)
Mặt khác (P) đi qua \({M_0}( - 2;3;1)\) nên có phương trình là:
\((P):(x + 2) + 5(y - 3) + 7(z - 1) = 0 \Leftrightarrow (P):z + 5y + 7z - 20 = 0.\)
d) Cặp VTCP mặt phẳng (P) là:
\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;4)\\ \overrightarrow {AC} = ( - 2;1;3) \end{array} \right. \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 10; - 5; - 5).\)
Mặt khác (P) đi qua A(2;0;-1) nên có phương trình là:
\((P): - 10(x - 2) - 5(y - 0) - 5(z + 1) = 0 \Leftrightarrow (P):2x + y + z - 3 = 0.\)
Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau:
a) 2x-3y+4z-4=0 và 3x-y-x-1=0.
b) -x+y-z+4=0 và 2x-2y+2z-7=0.
c) 3x+3y-6z-12=0 và 4x+4y-8z-16=0.
a) Ta có: \(\frac{2}{3} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{4}{1}\) vậy hai mặt phẳng cắt nhau.
b) Ta có: \(\frac{{ - 1}}{2} = \frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{2} \ne \frac{4}{7}\) vậy hai mặt phẳng song song.
c) Ta có: \(\frac{3}{4} = \frac{3}{4} = \frac{{ - 6}}{{ - 8}} = \frac{{ - 12}}{{ - 16}}\) vậy hai mặt phẳng trùng nhau.
Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là: \(\left( {{m^2} - 5} \right)x - 2y + mz + m - 5 = 0\) và \(x + 2y - 3nz + 3 = 0.\)
Tìm m và n để hai mặt phẳng trùng nhau.
Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} \frac{{{m^2} - 5}}{1} = \frac{{ - 2}}{2} = \frac{m}{{ - 3n}} = \frac{{m - 5}}{3}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 5 = - 1\\ m = 3n\\ m - 5 = - 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = \pm 2\\ n = \frac{m}{3}\\ m = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ n = \frac{2}{3} \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy với m=2; \(n=\frac{2}{3}\) thì hai mặt phẳng trùng nhau.
Tìm khoảng cách từ các điểm \({M_0}\left( {1; - 1;2} \right);\,{M_1}\left( {3;4;1} \right);\,{M_2}\left( { - 1;4;3} \right)\) đến mặt phẳng x+2y+2z-10=0.
\(\begin{array}{l} d\left( {{M_0},(P)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.( - 1) + 2.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = \frac{7}{3}\\ d\left( {{M_1},(P)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.4 + 2.1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1\\ d\left( {{M_2},(P)} \right) = \frac{{\left| { - 1 + 2.4 + 2.3 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + 2{}^2 + {2^2}} }} = 1 \end{array}\)
Trên trục Oy tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng \((P):x + y - z + 1 = 0\) và \((Q):z - y + z - 5 = 0.\)
Gọi \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in Oy.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} d({M_0},(P)) = d\left( {{M_0},(Q)} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - {y_0} - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {{y_0} + 1} \right| = \left| { - {y_0} - 5} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {y_0} + 1 = {y_0} + 5\,(VN)\\ {y_0} + 1 = - {y_0} - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow {y_0} = - 3 \end{array}\)
Vậy M(0;-3;0).
Tính góc tạo bởi mặt phẳng (P): 3x+y+4z+2017=0 và mặt phẳng (Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1).
VTPT của (P) là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;1;4} \right).\)
(Q) chứa 3 điểm A(1;1;1); B(2;3;0); C(3;4;-1) nên VTPT của (Q) là:
\(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = (6; - 5; - 4).\)
Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có:
\(\begin{array}{l} \cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.6 + 1.( - 5) + 4.( - 4)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {4^2}} .\sqrt {{6^2} + {{( - 5)}^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {2002} }}\\ \Rightarrow \alpha \approx {86^0}9'. \end{array}\)
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em dạng của phương trình mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng. Bên cạnh đó là các công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, phương pháp xác định vị trí tương đối của mặt phẳng. Ngoài ra trong bài học này các em còn được tìm hiểu khái niệm hoàn toàn mới là tích có hướng giữa hai vectơ và những ứng dụng.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 80 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 81 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 81 SGK Hình học 12
Bài tập 3.17 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.18 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.19 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.20 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.21 trang 113 SBT Hình học 12
Bài tập 3.22 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.23 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.24 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.25 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.26 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.27 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.28 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.29 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 3.30 trang 114 SBT Hình học 12
Bài tập 15 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 89 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 90 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(-1;2;2) và song song với trục Ox.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho G(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;1)\) và \(B(1;3;-5)\) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song \((\alpha )\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(\left( \beta \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\left( {m,n \in \mathbb{R} } \right)\) . Tìm giá trị của m và n để hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song với nhau?
Tính thể tích V của tứ diện OABC với A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(2x - 3y + 5z - 30 = 0\) với trục Ox, Oy, Oz.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(S\left( {0;0;1} \right),A\left( {1;1;0} \right)\). Hai điểm \(M\left( {m;0;0} \right),N\left( {0;n;0} \right)\) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN).
Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.
Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:
a) \(({\alpha _1}):3x - 2y - 3z + 5 = 0,\) \((\alpha _1^\prime ):9x - 6y - 9z - 5 = 0\)
b) \(({\alpha _2}):x - 2y + z + 3 = 0,\) \((\alpha _2^\prime ):x - 2y - z + 3 = 0\)
c) \(({\alpha _3}):x - y + 2z - 4 = 0,\) \((\alpha _3^\prime ):10x - 10y + 20z - 40 = 0\)
Viết phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + 3z + 4 = 0
Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua ba điểm M(2; 0; −1); N(1; −2; 3); P(0; 1; 2)
b) Đi qua hai điểm A(1; 1; −1); B(5; 2; 1) và song song với trục Oz ;
c) Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;
d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;
e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với abc ≠ 0) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;
g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mật phẳng cho bởi các phương trình sau:
a) x + 2y − z + 5 = 0 và 2x + 3y − 7z − 4 = 0
b) z − 2y + z − 3 = 0 và 2x − y + 4z − 2 = 0
c) x + y + z − 1 = 0 và 2x + 2y + 2z + 3 = 0.
d) 3x − 2y + 3z + 5 = 0 và 9x − 6y − 9z − 5 = 0
e) x − y + 2z − 4 = 0 và 10x − 10y + 20z − 40 = 0
Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:
a) 2x + ny + 2z + 3 = 0 và mx + 2y − 4z + 7 = 0
b) 2x + y + mz − 2 = 0 và x + ny + 2z + 8 = 0.
Cho hai mặt phẳng có phương trình là
2x − my + 3z − 6 + m = 0 và (m + 3)x− 2y + (5m + 1)z − 10 = 0
Với giá trị nào của m thì:
a) Hai mặt phẳng đó song song
b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau
c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (α) và (α′) trong mỗi trường hợp sau:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a)(\alpha ):2x - y + 4z + 5 = 0\\
\,\,\,\,(\alpha \prime ):3x + 5y - z - 1 = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b)(\alpha ):2x + y - 2z - 1 = 0\\
\,\,\,\,(\alpha \prime ):6x - 3y + 2z - 2 = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
c)(\alpha ):x + 2y + z - 1 = 0\\
\,\,\,\,(\alpha \prime ):x + 2y + z + 5 = 0
\end{array}
\end{array}\)
Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D′ = 0 với D ≠ D′
Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:
a) M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z − 17 = 0
b) M cách đều hai mặt phẳng x + y − z + 1 = 0 và x − y + z + 5 = 0
Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh :
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn.
b) \(co{s^2}\alpha + co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma = 1\)
Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − 2 = 0
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Trong không gian, hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi có tất cả bao nhiêu đỉnh?
A.5
B.6
C.7
D.8
Câu trả lời của bạn
D NHÉ
Câu trả lời của bạn
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3)\). Tìm tọa độ một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = (2,1, - 2) \cr
& \overrightarrow {AC} = ( - 12,6,0) \cr
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\cr& = \left( {\left| \begin{array}{l}1\,\, - 2\\6\,\,\,\,\,0\end{array} \right|,\left| \begin{array}{l}- 2\,\,\,\,\,\,2\\0\,\,\, - 12\end{array} \right|,\left| \begin{array}{l}2\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\\- 12\,\,\,6\end{array} \right|} \right)\cr&= (12,24,24)=12(1,2,2) \cr} \)
⇒ một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\overrightarrow n (1,2,2)\).
Chú ý: Cũng có thể chọn véc tơ pháp tuyến khác chứ không nhất thiết phải chọn \(\overrightarrow n (1,2,2)\), chẳng hạn \(\overrightarrow n (-1,-2,-2)\) hay \(\overrightarrow n (12,24,24)\) nhưng để tiện cho tính toán ta nên chọn tọa độ đơn giản nhất.
Hãy lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \((MNP)\) với \(M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)\).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = (3,2,1);\,\,\overrightarrow {NP} = (1, - 1, - 1) \cr
& \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NP} } \right] = ( - 1,4, - 5) \cr} \)
⇒ Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) là \(\overrightarrow n (1, - 4,5)\)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng \((MNP)\) với \(M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)\) là: \((x-1)-4(y-1)+5(z-1)=0\)
Hay \(x - 4y + 5z - 2 = 0\).
Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((α): 4x – 2y - 6z +7 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((α) \) là: \(\overrightarrow n (4, - 2, - 6)\)
Hai mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) có phương trình \((α): x - 2y + 3z + 1 = 0\); \((β): 2x – 4y + 6z + 1 = 0\). Có nhận xét gì về vecto pháp tuyến của chúng?
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& \overrightarrow {{n_\alpha }} = (1, - 2,3) \cr
& \overrightarrow {{n_\beta }} = (2, - 4,6) \cr} \)
Ta thấy \(\overrightarrow {{n_\beta }}=2\overrightarrow {{n_\alpha }}\) nên chúng cùng phương.
Hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) cho bởi các phương trình sau đây: (α): x – 2 = 0; (β): x – 8 = 0.
Câu trả lời của bạn
Ta thấy: \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) cùng có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)\).
Dễ thấy điểm \(M\left( {2;0;0} \right) \in \left( \alpha \right)\) nhưng \(M\left( {2;0;0} \right) \notin \left( \beta \right)\) nên \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\).
Từ đó \(d\left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = d\left( {M,\left( \beta \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 6\)
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng \(6\).
Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M(1; -2; 4)\) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến.
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(1; -2; 4)\) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
\((P) :2(x - 1) + 3(x +2) + 5(z - 4) = 0\) \(⇔ 2x + 3y + 5z -16 = 0\).
Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A(0 ; -1 ; 2)\) và song song với giá của các vectơ \(\overrightarrow{u}(3; 2; 1)\) và \(\overrightarrow{v}(-3; 0; 1)\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \((Q)\) là mặt phẳng cần lập. Theo đề bài ta có: \((Q)\) song song với \(\overrightarrow u ;\;\;\overrightarrow v.\)
Khi đó ta có VTPT của \((Q)\) là: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right].\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\{ - 3}&0\end{array}} \right|} \right) \\= \left( {2;\; - 6;\;6} \right) = 2\left( {1; - 3;\;3} \right).\)
Do đó ta chọn một VTPT của \((Q)\) có tọa độ \(\left( {1; - 3;\;3} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \((Q)\) có dạng:
\((Q) :x - 0 - 3(y + 1) + 3(z - 2) = 0\) \( ⇔ x - 3y + 3z - 9 = 0\)
Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0)\) và \(C(0 ; 0 ; -1)\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \((R)\) là mặt phẳng qua \(A, \, B, \, C\). Khi đó \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) là cặp vectơ chỉ phương của \((R)\).
Ta có: \( \overrightarrow{AB} = (3;-2;0)\) và \(\overrightarrow{AC}= (3;\, 0; \, -1).\)
Khi đó: \(\overrightarrow{n_R}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ] \) \(= \left( \begin{vmatrix} -2 &0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0 & 3\\ -1& 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 3& 0 \end{vmatrix} \right)\\ = (2 ; 3 ; 6).\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((R)\) có dạng: \(2x + 3y + 6(z+1)=0 \)
\( \Leftrightarrow 2x + 3y +6z + 6 = 0.\)
Cách khác:
Mp đi qua ba điểm \(A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0)\) và \(C(0 ; 0 ; -1)\) có phương trình:
\(\dfrac{x}{{ - 3}} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{{ - 1}} = 1\) \( \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z = - 6\) \( \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z + 6 = 0\)
Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) với \(A(2 ; 3 ; 7)\) và \(B(4 ; 1 ; 3)\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 3\\
{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 2\\
{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 5
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;\;2;\;5} \right).\)
Khi đó mặt phẳng \((P)\) cần lập đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow{AB}\) làm VTPT.
Có \(\overrightarrow{AB}(2 ; -2; -4)\) và \(I(3 ; 2 ; 5)\) nên phương trình mặt phẳng \((P)\) là:
\(2(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0\)
\( \Leftrightarrow 2x - 2y - 4z + 18 = 0\)
\( \Leftrightarrow x -y -2z + 9 = 0.\)
Hãy lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ \((Oxy), (Oyz), (Ozx)\).
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng \((Oxy)\) qua điểm \(O(0 ; 0 ; 0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\) nên:
\((Oxy): 0.(x - 0) +0.(y - 0) +1.(z - 0) = 0\) hay \(z = 0\).
Tương tự:
\((Oyz)\): \(x = 0\)
\((Ozx)\): \(y = 0\).
Hãy lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(M(2 ; 6 ; -3)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(M(2; 6; -3)\) song song với mặt phẳng \((Oxy)\) nên nhận \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\) làm VTPT.
\((P):0\left( {x - 2} \right) + 0\left( {y - 6} \right) + 1\left( {z + 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow z +3 = 0\).
Tương tự mặt phẳng \((Q)\) qua \(M\) và song song với mặt phẳng \((Oyz)\) có phương trình:
\((Q):1\left( {x - 2} \right) + 0\left( {y - 6} \right) + 0\left( {z + 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 2 = 0\).
Mặt phẳng qua \(M\) song song với mặt phẳng \((Oxz)\) có phương trình:
\(0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 6} \right) + 0\left( {z + 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow y - 6 = 0\).
Lập phương trình mặt phẳng: Chứa trục \(Ox\) và điểm \(P(4 ; -1 ; 2)\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \((α)\) là mặt phẳng qua \(P\) và chứa trục \(Ox\), thì \((α)\) qua điểm \(O(0 ; 0 ; 0)\) và \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \bot \overrightarrow {OP} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \bot \overrightarrow i \).
Khi đó \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}}=\left [\overrightarrow{OP},\overrightarrow{i} \right ] \) \(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\0&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\0&1\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|} \right)\) \(=(0 ; 2 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\).
Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(0\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 0} \right) + 1.\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(2y + z = 0\).
Lập phương trình mặt phẳng: Chứa trục \(Oy\) và điểm \(Q(1 ; 4 ;-3)\);
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng \((β)\) qua điểm \(Q(1 ; 4 ; -3)\) và chứa trục \(Oy\) thì \((β)\) qua điểm \(O( 0 ; 0 ; 0)\) có \(\overrightarrow{OQ} (1 ; 4 ; -3)\) và \(\overrightarrow{j}(0 ; 1 ; 0)\) là cặp vectơ chỉ phương.
Ta có VTPT của \((β)\) là:\(\overrightarrow {{n_\beta }} \) \(= \left[ {\overrightarrow {OQ} ,\;\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 3}\\1&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\0&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|} \right) \) \(= \left( {3;\;0;\;1} \right).\)
Phương trình mặt phẳng \((β)\) có dạng : \(3\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(3x + z = 0\).
Lập phương trình mặt phẳng: Chứa trục \(Oz\) và điểm \(R(3 ; -4 ; 7)\).
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng \((ɣ)\) qua điểm \(R(3 ; -4 ; 7)\) và chứa trục \(Oz\) nên nó đi qua \(O(0;0;0)\) và nhận cặp vectơ \(\overrightarrow{OR}(3 ; -4 ; 7)\) và \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\) làm vectơ chỉ phương.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {OR} ,\;\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&7\\0&1\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}7&3\\1&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\0&0\end{array}} \right|} \right)\\ = \left( { - 4;\; - 3;\;0} \right) \) \(= - \left( {4;\;3;\;0} \right).\)
Chọn \( \overrightarrow {{n_\gamma }} =\left( {4;\;3;\;0} \right)\), phương trình mặt phẳng \((ɣ)\) có dạng: \(4\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(4x + 3y = 0\).
Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).\) Hãy viết các phương trình mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\).
Câu trả lời của bạn
Mặt phẳng \((ADC)\) đi qua \(A(5 ; 1 ; 3)\) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{AC}(0 ; -1 ; 1)\) và \(\overrightarrow{AD}(-1 ; -1 ; 3)\).
Ta có:: \(\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ]\) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\3&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)\) \(= (-2 ; -1 ; -1).\)
Chọn \(\overrightarrow {{n_{\left( {ACD} \right)}}} =(2;1;1)\).
Phương trình \((ACD)\) có dạng: \(2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0\) hay \(2x + y + z - 14 = 0\).
Tương tự ta có :\(\overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)\), \(\overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)\) và
\(\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )\)
\(= (-12 ; -10 ; -6)=-2(6; 5; 3).\)
Chọn \(\overrightarrow{n_{(BCD)}}=(6;5;3)\) là VTPT của mặt phẳng \((BCD)\).
Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) có dạng: \(6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0\) hay \(6x + 5y + 3z - 42 = 0\).
Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(M(2 ; -1 ; 2)\) và song song với mặt phẳng \(( β)\) có phương trình: \(2x - y + 3z + 4 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có vectơ \(\overrightarrow{n}(2 ; -1 ; 3)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((β)\) .
Vì \((α) // ( β)\) nên \(\overrightarrow{n}\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((α)\) .
Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(2(x - 2) - (y + 1) + 3(z - 2) = 0\) hay \(2x - y + 3z -11 = 0\).
Cách khác:
Vì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng ( β) : 2x – y + 3z + 4 = 0 nên phương trình của mp(α) có dạng:
2x – y + 3z + D = 0
Vì M(2; -1; 2) ∈ mp(α) nên 4 + 1 + 6 + D = 0 <=> D = -11
Vậy phương trình của mp(α) là: 2x – y + 3z - 11= 0
Hãy lập phương trình mặt phẳng \(( α)\) đi qua hai điểm \(A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta)\): \(2x - y + z - 7 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2; - 1;\;1} \right);\;\;\overrightarrow {AB} = \left( {4;\;2;\;2} \right).\)
Theo đề bài ta có: \( (\alpha) \bot (\beta) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} .\)
Mặt phẳng \( (\alpha)\) đi qua hai điểm \(A,\, \, B\) thì: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{AB }} .\)
Ta có: \( \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&2\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&4\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&2\end{array}} \right|} \right) \\= \left( { - 4;0;\;8} \right) = - 4\left( {1;\;0;\;-2} \right). \)
Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(A(1;\, 0;\,1)\) và nhận vecto \( \overrightarrow {{n_\alpha }} =\left( {1;\;0;\;-2} \right)\) làm VTPT có phương trình: \(x-1-2(z-1)=0 \)
\(\Leftrightarrow x-2z+1=0.\)
Hãy xác định giá trị của \(m\) và \(n\) để cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau: \(3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(2x + ny - 3z + 1 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Nếu \(n=0\) thì \(\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{0}{{ - 5}}\) nên hai mặt phẳng không song song.
Hai mặt phẳng \(3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(2x + ny - 3z + 1 = 0\) song song khi và chỉ khi: \(\dfrac{3}{2}=-\dfrac{5}{n}=\dfrac{m}{-3}\neq -\dfrac{3}{1}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3n = - 10\\2m = - 9\end{array} \right.\) \(⇔ \left\{\begin{matrix} n=-\dfrac{10}{3} & \\ m=-\dfrac{9}{2} & \end{matrix}\right..\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *