Sau khi kết thúc tất cả bài học chương trình Hình học 12, bài ôn tập cuối năm sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ chương trình đã học. Từ đó sẽ có định hướng ôn tập và rèn luyện nhằm hướng đến kì thi THPT Quốc gia mà ở đó chương trình Toán 12 luôn chiếm tỉ trọng cao nhất về điểm số.
Với việc môn Toán thi Trắc nghiệm thì việc học tủ một số dạng toán để tham gia kì thi THPT QG sẽ dễ khiến các em bị mất điểm đáng tiếc nhất là với những câu lý thuyết. Các em cần thay đổi phương pháp học tập, cần nắm và hiểu lý thuyết hơn là chỉ chăm chăm vào việc luyện giải bài tập. Với toàn bộ những nội dung đã truyền tải đến các em thông qua các bài học, hy vọng sẽ giúp ích cho các em.
Nếu các em đã tự tin mình đã nắm vững kiến thức thì các em có thể tham gia làm bài Kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 để đánh giá kết quả ôn tập của mình nhé. Mọi thắc mắc cần giải đáp các em có thể đặt câu hỏi trong phần Hỏi-đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích V khối chóp S.ABC?
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng \(\frac{{{a^3}}}{4}.\) Tính độ dài cạnh bên SA.
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABA’C’.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB = 3a,{\rm{ }}AC = 5a\) và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp bằng \(6a^3\). Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAD).
Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là (O); (O’). Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (O’) là \(a^3\) tính thể tích V của khối trụ đã cho?
Cho mặt cầu có diện tích bằng \(\frac{{8\pi {a^2}}}{3}.\) Tìm bán kính R của mặt cầu.
Trong không gian với hệ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;2;1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm \(A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \((P):x + y + z - 2 = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \(\left( P \right):2x + y - z = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng (P).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = 2t'\\z = 3 - 4t'\end{array} \right.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d1 và d2 cắt nhau
B. d1 và d2 chéo nhau
C. d1 và d2 song song
D. d1 và d2 trùng nhau
Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\) và hai mặt phẳng: (P): x - y + z + 1 = 0 và (Q): 2x + y - z - 4 = 0
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d // (P)
B. d // (Q)
C. d = (P) ∩ (Q)
D. d ⊥ (P).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên \(\left[ { - 2;\,6} \right]\) lần lượt là: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,6} \right]} f\left( x \right) = 6;\,\,m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,6} \right]} f\left( x \right) = - 4.\)
\( \Rightarrow T = 2M + 3m = 2.6 + 3.\left( { - 4} \right) = 0.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:\(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1;\,4 - 1;\,5 - 2} \right) = \left( {2;\,3;\,3} \right).\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B,\,\,AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AB = BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = a.\)
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC.BB' = \dfrac{{{a^3}}}{2}.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(R = a\cos \alpha .\)
\( \Rightarrow {S_{xq}} = \pi Rl = \pi a\cos \alpha .a = \pi {a^2}\cos \alpha .\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO'.\)
\( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối trụ.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow R = \sqrt {I{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {3{a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 6 .\\ \Rightarrow V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {a\sqrt 6 } \right)^3} = 8\sqrt 6 \pi {a^3}.\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(I\left( {a;\, - a} \right)\,\,\left( {a > 0} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = - x\).
\( \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y + a} \right)^2} = 9.\)
\(\left( S \right)\) tiếp xúc với các trục tọa độ \( \Rightarrow d\left( {I;\,Ox} \right) = d\left( {I;\,Oy} \right) = R = 3\)
\( \Leftrightarrow \left| {{x_I}} \right| = \left| {{y_I}} \right| = 3 \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9.\)
Câu trả lời của bạn
Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A \Rightarrow IA = R \Leftrightarrow R = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 3 .\)
\( \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} - 3\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 2.3 - 3.\left( { - 2} \right) = 12\).
Câu trả lời của bạn
Dễ dàng nhận thấy \(\left( P \right)//\left( Q \right)\).
Lấy \(M\left( {1;0;0} \right) \in \left( P \right)\), khi đó \(d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 2.0 + 3.0 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \dfrac{7}{{\sqrt {14} }}\).
Câu trả lời của bạn
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\) ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot A'I\,\,\left( {A'I \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).
Xét tam giác vuông \(ABC\) có :
\(AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).
Câu trả lời của bạn
Cách 1 : Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt ba trục \(Ox;Oy;Oz\) lần lượt tại ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\) \(\left( {a;b;c \ne 0} \right)\) thì có phương trình \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\)
Cách 2 :Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,B,C\) nhận một VTPT là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\)
Từ đó viết phương trình mặt phẳng có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) và đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là
\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AE}} = \dfrac{{AP}}{{AG}} = \dfrac{{AN}}{{AF}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MP//EG,\,\,MN//EF\)
\( \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {BCD} \right)\).
Ta có \(\dfrac{{MN}}{{EG}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{1}{3}\)
Ta có \(\Delta MNP\) đồng dạng với \(\Delta BCD\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \dfrac{1}{9}\).
Dựng \(B'C'\) qua M và song song \(BC\). \(C'D'\) qua P và song song với \(CD\).
\( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \equiv \left( {B'C'D'} \right)\).
Trong \(\left( {ABG} \right)\) gọi \(I = AQ \cap B'P\). Ta có \(\dfrac{{AB'}}{{AB}} = \dfrac{{AI}}{{AQ}} = \dfrac{{AP}}{{AG}} = \dfrac{2}{3}\).
\(\begin{array}{l}\dfrac{{d\left( {Q;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)}} = \dfrac{{QI}}{{AI}} = \dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{{d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB'}}{{AB}} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{{d\left( {Q;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{{{V_{MNPQ}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{{27}} \Rightarrow {V_{MNPQ}} = \dfrac{V}{{27}}\).
Câu trả lời của bạn
Đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) có dạng:
Quan sát dáng đồ thị ta thấy, nếu đường thẳng \(y = m\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thì chúng phải là hai điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Hàm số \(y = - 2{x^4} + 4{x^2} - 1\) có \(y' = - 8{x^3} + 8x = 8x\left( { - {x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = - 1\\x = \pm 1 \Rightarrow y = 1\end{array} \right.\)
Vậy hai điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( { - 1;1} \right)\).
Vậy \({y_A} + {y_B} = 2\).
Câu trả lời của bạn
Diện tích đáy lăng trụ là \(S = {a^2}\)
Thể tích lăng trụ là \(V = h.S = 2a.{a^2} = 2{a^3}\)
ko biet lam
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{x - 6}}{{ - 2}}\) đi qua \(M\left( {2; - 2;6} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)
Đường thẳng \({d_2}:\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{3}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;3} \right)\)
Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) và song song với \({d_2}\) nên 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1; - 8; - 5} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right): - 1\left( {x - 2} \right) - 8\left( {y + 2} \right) - 5\left( {z - 6} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 8y + 5 - 16 = 0\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB \Rightarrow SH \bot AB\) (vì tam giác \(SAB\) đều)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\SH \bot AB;SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AB = a \Rightarrow \) tam giác \(SAB\) cũng là tam giác đều cạnh \(a.\)
Vì \(SH\) là đường trung tuyến trong tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Diện tích đáy \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{1}\)\( \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
Gọi \(I = d \cap \left( P \right)\) \( \Rightarrow I \in d \Rightarrow I\left( {1 + 2t;3 - t;1 + t} \right)\).
\(I \in \left( P \right) \Leftrightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) - 3\left( {3 - t} \right) + \left( {1 + t} \right) - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2 + 4t - 9 + 3t + 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow 8t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( {3;2;2} \right)\)
Hay \(a = 3;b = 2,c = 2 \Rightarrow a + b + c = 7\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 - 2.\left( { - 1} \right) - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\)
Phương trình mặt cầu: \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\\z = 2t\end{array} \right.\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;2} \right)\)
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\\z = 2t\end{array} \right.\) suy ra \(H\left( {2 + t;1 - 2t;2t} \right)\) và \(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow u \)
Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {t + 3; - 2t;2t - 6} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 1\left( {t + 3} \right) - 2\left( { - 2t} \right) + 2\left( {2t - 6} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) \( \Rightarrow H\left( {3; - 1;2} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(I;O\) lần lượt là tâm hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(ABCD.\) Suy ra \(IO = AA' = a\)
Hình nón có đỉnh \(I\) , bán kính đáy \(R = OA = \dfrac{{AC}}{2}\) và đường sinh \(l = IA\)
Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow R = OA = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác vuông \(IOA\) có \(IA = \sqrt {O{I^2} + O{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Diện tích xung quanh hình nón \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .OA.IA = \pi .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *