Sau khi kết thúc tất cả bài học chương trình Hình học 12, bài ôn tập cuối năm sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ chương trình đã học. Từ đó sẽ có định hướng ôn tập và rèn luyện nhằm hướng đến kì thi THPT Quốc gia mà ở đó chương trình Toán 12 luôn chiếm tỉ trọng cao nhất về điểm số.
Với việc môn Toán thi Trắc nghiệm thì việc học tủ một số dạng toán để tham gia kì thi THPT QG sẽ dễ khiến các em bị mất điểm đáng tiếc nhất là với những câu lý thuyết. Các em cần thay đổi phương pháp học tập, cần nắm và hiểu lý thuyết hơn là chỉ chăm chăm vào việc luyện giải bài tập. Với toàn bộ những nội dung đã truyền tải đến các em thông qua các bài học, hy vọng sẽ giúp ích cho các em.
Nếu các em đã tự tin mình đã nắm vững kiến thức thì các em có thể tham gia làm bài Kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 để đánh giá kết quả ôn tập của mình nhé. Mọi thắc mắc cần giải đáp các em có thể đặt câu hỏi trong phần Hỏi-đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích V khối chóp S.ABC?
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng \(\frac{{{a^3}}}{4}.\) Tính độ dài cạnh bên SA.
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABA’C’.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB = 3a,{\rm{ }}AC = 5a\) và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp bằng \(6a^3\). Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAD).
Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là (O); (O’). Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (O’) là \(a^3\) tính thể tích V của khối trụ đã cho?
Cho mặt cầu có diện tích bằng \(\frac{{8\pi {a^2}}}{3}.\) Tìm bán kính R của mặt cầu.
Trong không gian với hệ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;2;1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm \(A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \((P):x + y + z - 2 = 0.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \(\left( P \right):2x + y - z = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng (P).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Khi đó thể tích hình chóp A.A'BCD' bằng:
A. a3/2 B. a3/3
C. a3/4 D. a3/6
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi (H) là hình nón tròn xoay nội tiếp hình lập phương đó. Khi đó: \(\frac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}}\) bằng
A. 1/3 B. π/6
C. π/8 D. π/12
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi (H) là hình trụ tròn xoay ngoại tiếp hình lập phương đó. Khi đó: \(\frac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}}\) bằng
A. 3/2 B. π/2
C. π/3 D. π/(√3)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi (H) là hình cầu nội tiếp hình lập phương đó. Khi đó: \(\frac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}}\) bằng
A. π/6 B. π/4
C. π/3 D. π/(√3)
Cho một mặt cầu có diện tích S, thể tích khối cầu đó là V. Bán kính R của mặt cầu là:
A. R = 4V/S B. R = S/3V
C. R = 3V/S D. R = V/3S
Cho mặt cầu S(O;R) và điểm A cố định với OA = d > R. Qua A kẻ đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại M. Độ dài đoạn thẳng AM là:
\(\begin{array}{l}
A.\sqrt {{d^2} + {R^2}} \\
B.\sqrt {2{R^2} - {d^2}} \\
C.\sqrt {{R^2} - 2{d^2}} \\
D.\sqrt {{d^2} - {R^2}}
\end{array}\)
Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật. Tâm của mặt cầu (S) là:
A. Tâm của hình hộp chữ nhật
B. Tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật
C. Trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật
D. Một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật
Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng Δ. Biết khoảng cách từ O tới Δ bằng d. Với điều kiện nào sau đây thì đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S(O;R)?
A. d = R B. d > R
C. d < R D. d ≠ R
Cho đường tròn (C) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (C). Có tất cả bao nhiêu mặt cầu chứa đường tròn (C) và đi qua A?
A. 0 B. 1
C. 2 D. Vô số
Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
B. Đường trung trực của AB
C. Mặt phẳng song song với đường thẳng AB
D. Trung điểm của đoạn AB
Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu?
A. 0 B. 1
C. 2 D. Vô số
Một đường thẳng d thay đổi qua A và tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại M. Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng OA. M thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây?
A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA
B. Mặt phẳng trung trực của OA
C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM
D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM.
Một khinh khí cầu có một mặt cầu có đường kính 11m. Nếu làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai, thì diện tích bề mặt khinh khí cầu là:
A. 379,94 (m2) B. 697,19 (m2)
C. 190,14 (m2) D. 95,07 (m2)
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a và thể tích là V1 và hình cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích là V2.
Tỉ số thể tích V1/V2 là:
\(\begin{array}{l}
A.\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{3}\\
B.\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\\
C.\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\\
D.\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{3}
\end{array}\)
Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a√3 là:
A. 2πa2√3 B. 2πa2
C. πa2 D. πa2√3
Một hình nón có đường kính đáy là 2a√3, góc ở đỉnh 120o. Thể tích của khối nón đó theo a là:
A. 2√3πa3 B. 3πa3
C. πa3 D. πa3√3
Cho một hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h, thể tích V1 và một hình nón có đáy trùng với đáy của một hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy còn lại của hình trụ (xem hình) và thể tích V2. Hệ thức giữa V1 và V2 là:
A. V1 = 2V2 B. V1 = 3V2
C. V2 = 3V1 D. V2 = V1
Một khối trụ có chu vi đáy bằng 6π cm và thiết diện đi qua là một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 cm. Thể tích khối trụ là:
A. 72π (cm3) B. 24π (cm3)
C. 48π (cm3) D. 18π√(34) (cm3)
Cho A(0; 0; a), B(b; 0; 0), C(0; c; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
\(\begin{array}{l}
A.\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\\
B.\frac{x}{a} + \frac{y}{c} + \frac{z}{b} = 1\\
C.\frac{x}{b} + \frac{y}{c} + \frac{z}{a} = 1\\
D.\frac{x}{c} + \frac{y}{b} + \frac{z}{a} = 1
\end{array}\)
Cho ba mặt phẳng:
(P): 2x + y + z + 3 = 0
(Q): x - y - z - 1 = 0
(R): y - z + 2 = 0
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Không có điểm nào cùng thuộc ba mặt phẳng trên
B. (P) ⊥ (Q)
C. (P) ⊥ (R)
D. (Q) ⊥ (R)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(S = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + 3\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {M{A^2} + M{B^2} - {{\left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right)}^2} + 2M{B^2} + 2M{C^2} - 2{{\left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right)}^2} + 3M{A^2} + 3M{C^2} - 3{{\left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MC} } \right)}^2}} \right]\)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {4M{A^2} + 3M{B^2} + 5M{C^2} - A{B^2} - 2B{C^2} - 3A{C^2}} \right]\)
Xác định tọa độ điểm \(I\left( {m;n;p} \right)\) sao cho
\(4\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {1 - m} \right) + 3\left( { - 2 - m} \right) + 5\left( {0 - m} \right) = 0\\4\left( { - 1 - n} \right) + 3\left( {0 - n} \right) + 5\left( {1 - n} \right) = 0\\4\left( {2 - p} \right) + 3\left( {3 - p} \right) + 5\left( { - 2 - p} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{6}\\n = \dfrac{1}{{12}}\\p = \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow I\left( { - \dfrac{1}{6};\dfrac{1}{{12}};\dfrac{7}{{12}}} \right)\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{2}\left[ {4M{A^2} + 3M{B^2} + 5M{C^2} - A{B^2} - 2B{C^2} - 3A{C^2}} \right]\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ {4{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + 3{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)}^2} + 5{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)}^2} - A{B^2} - 2B{C^2} - 3A{C^2}} \right]\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ {12M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {4\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} } \right) + 4I{A^2} + 3I{B^2} + 5I{C^2} - A{B^2} - 2B{C^2} - 3A{C^2}} \right]\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ {12M{I^2} + 4I{A^2} + 3I{B^2} + 5I{C^2} - A{B^2} - 2B{C^2} - 3A{C^2}} \right]\,\,\left( {do\,\,4\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 } \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow S\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của I lên (Oxy)
\( \Leftrightarrow M\left( { - \dfrac{1}{6};\dfrac{1}{{12}};0} \right)\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{6}\\b = \dfrac{1}{{12}}\\c = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow T = 12a + 12b + c = 12.\dfrac{{ - 1}}{6} + 12.\dfrac{1}{{12}} + 0 = - 1\).
Câu trả lời của bạn
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BD, CD, BC.
Thể tích khối tứ diện vuông ABCD là: \(V = \dfrac{1}{6}.AB.AC.AD = \dfrac{1}{6}.6a.9a.12a = 108{a^3}\)
Ta có: \(\dfrac{{{G_2}{G_4}}}{{AC}} = \dfrac{{I{G_2}}}{{IA}} = \dfrac{{I{G_4}}}{{IC}} = \dfrac{1}{3}\), tương tự: \(\dfrac{{{G_2}{G_3}}}{{BC}} = \dfrac{{{G_3}{G_4}}}{{AB}} = \dfrac{{{G_1}{G_2}}}{{CD}} = \dfrac{{{G_1}{G_4}}}{{AD}} = \dfrac{{{G_1}{G_3}}}{{BD}} = \dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{{{V_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}}}{{{V_{ABCD}}}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3} \Rightarrow {V_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = \dfrac{1}{{27}}.108{a^3} = 4{a^3}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;OC} \right)} = \widehat {SCO} = {60^0}\)
\(ABCD\) là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\\{S_{ABCD}} = {a^2}\end{array} \right.\)
\(\Delta SOC\) vuông tại O \( \Rightarrow SO = OC.\tan \widehat {SCO} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)
Thể tích khối chóp S.ABCD là: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \dfrac{1}{3}.{a^2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).
Câu trả lời của bạn
Mặt cầu \((S):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\) có tâm \(I\left( { - 3; - 1;1} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là: \((2; - 1;5)\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), kẻ \(OH \bot SM\).
Khi đó \(OM \bot AB,SM \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).
Lại có \(OH \bot SM\) nên \(OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( P \right)} \right) = OH = \dfrac{{4a\sqrt {17} }}{{17}}.\)
Xét tam giác \(OAM\) vuông tại \(M\) có \(OA = a\sqrt 2 ,MA = \dfrac{{AB}}{2} = a \Rightarrow OM = \sqrt {O{A^2} - A{M^2}} = a\).
Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}} \Rightarrow \dfrac{{17}}{{16{a^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SO = 4a\).
Vậy thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi .2{a^2}.4a = \dfrac{{8\pi {a^3}}}{3}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\vec u = 3\vec i - 2\vec j + 2\vec k\) nên tọa độ của \(\overrightarrow u \) là \(\left( {3; - 2;2} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^2}dx} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + C\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(CD \bot AD,CD \bot SA \Rightarrow CD \bot \left( {SDA} \right)\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(CS\) và đường thẳng \(DS\) hay \(\widehat {CSD}\).
Lại có \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 7 ,SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a\sqrt 2 ,CD = a\) nên áp dụng định lý hàm số cô sin cho tam giác \(SCD\) ta có:
\(\cos \widehat {CSD} = \dfrac{{S{D^2} + S{C^2} - C{D^2}}}{{2SD.SC}} = \dfrac{{7{a^2} + 8{a^2} - {a^2}}}{{2.a\sqrt 7 .2a\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC.\)
Vì \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\) nên \(AE = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)
Vì \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(AO = \dfrac{2}{3}.AE = \dfrac{2}{3}.a\sqrt 3 = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Xét tam giác \(AOA'\) vuông tại \(A\) nên \(AA' = \sqrt {A'{O^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Diện tích đáy \({S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \)
Thể tích lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.{a^2}\sqrt 3 = 2{a^3}.\)
Câu trả lời của bạn
\(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\) nên \(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(M\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};1} \right)\) của \(AB\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)\) làm VTPT.
Khi đó \(\left( P \right): - 1\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right) + 1\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right) + 0\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3\end{array} \right.\),\(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;0} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Dễ thấy các điểm \(A,B,C\) lần lượt thuộc các trục tọa độ nên \(OABC\) là tứ diện vuông tại \(O\).
Do đó đường thẳng \(OH\) đi qua \(O\) và vuông góc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) hay nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3;6; - 2} \right)\) làm VTCP. Khi đó \(OH:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3t\\y = 6t\\x = - 2t\end{array} \right.\).
Câu trả lời của bạn
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, giả sử \(SO = b\) ta có: \(OC = OD = OA = OB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow C\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( {0;\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),A\left( { - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),\)\(B\left( {0; - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),S\left( {0;0;b} \right)\).
Gọi \(K\) trung điểm \(SA\) thì \(K\left( { - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4};0;\dfrac{b}{2}} \right)\), \(E\) đối xứng với \(D\) qua \(K\) nên \(E\left( { - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};b} \right)\).
\(M\) là trung điểm của \(AE \Rightarrow M\left( { - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4};\dfrac{b}{2}} \right)\).
\(N\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow N\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}; - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4};0} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4};0; - \dfrac{b}{2}} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - b} \right),\overrightarrow {SN} = \left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}; - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}; - b} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;\dfrac{{ab\sqrt 2 }}{2};0} \right)\)
Suy ra \(d\left( {MN,SC} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {SC} } \right].\overrightarrow {SN} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {SC} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {0 - \dfrac{{{a^2}b}}{4} + 0} \right|}}{{\sqrt {0 + \dfrac{{2{a^2}{b^2}}}{4} + b} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6t\\y = 1 + 3t\\z = 2t\end{array} \right.\) nên \(M \in d \Rightarrow M\left( {6t;3t + 1;2t} \right)\).
Khi đó \(MA = \sqrt {{{\left( {2 - 6t} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2}} = \sqrt {49{t^2} - 18t + 5} = \sqrt {{{\left( {7t - \dfrac{9}{7}} \right)}^2} + \dfrac{{164}}{{49}}} \ge \dfrac{{2\sqrt {41} }}{7}\)
\(\begin{array}{l}MB = \sqrt {{{\left( {6t} \right)}^2} + {{\left( {3 - 3t} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2}} = \sqrt {49{t^2} - 18t + 9} = \sqrt {{{\left( {7t - \dfrac{9}{7}} \right)}^2} + \dfrac{{360}}{{49}}} \ge \dfrac{{6\sqrt {10} }}{7}\\MC = \sqrt {{{\left( {6t} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2t} \right)}^2}} = \sqrt {49{t^2} - 18t + 37} = \sqrt {{{\left( {7t - \dfrac{9}{7}} \right)}^2} + \dfrac{{1732}}{{49}}} \ge \dfrac{{2\sqrt {433} }}{7}\\ \Rightarrow MA + 2MB + 3MC \ge \dfrac{{2\sqrt {41} + 12\sqrt {10} + \sqrt {433} }}{7}\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow 7t - \dfrac{9}{7} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{9}{{49}} \Rightarrow M\left( {\dfrac{{54}}{{49}};\dfrac{{76}}{{49}};\dfrac{{18}}{{49}}} \right) \Rightarrow a + b + c = \dfrac{{148}}{{149}}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(C\left( {1 + t;1 + 2t;1 + 2t} \right)\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(d\). Khi đó \(\overrightarrow {AC} = \left( {t - 1;2t + 1;2t + 4} \right)\).
\(\overrightarrow {BA} = \left( {0;3; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {t - 1;2t + 1;2t + 4} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {14t + 16; - 4t + 4; - 3t + 3} \right)\)
\(d\left( {B,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {14t + 16} \right)}^2} + {{\left( { - 4t + 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3t + 3} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {2t + 1} \right)}^2} + {{\left( {2t + 4} \right)}^2}} }}\)
Dùng MTCT (chức năng TABLE) nhập hàm \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {14x + 16} \right)}^2} + {{\left( { - 4x + 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {2x + 1} \right)}^2} + {{\left( {2x + 4} \right)}^2}}}\)
Bước START nhập \( - 5\), bước END nhập \(5\) và bước STEP nhập \(1\).
Ta được kết quả \(f\left( x \right)\) min tại \(x = - 1\) hay \(d\left( {B,\Delta } \right)\) min khi \(t = - 1\).
Từ đó \(C\left( {0; - 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {CA} = \left( {2;1; - 2} \right)\) nên \(AC\) có phương trình \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}.\)
Câu trả lời của bạn
Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A'\) đến \(BC\) khi đó \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) suy ra \(A'H \bot BC\) mà ta có \(AB = AC \Rightarrow A'B = A'C\) nên \(H\) là trung điểm của \(BC.\) Suy ra \(AH \bot BC\)
Lấy \(D\) là trung điểm của \(B'C'\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\A'H \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'DH} \right)\)
Kẻ \(A'E \bot DH\) tại \(E\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot A'E\,\left( {do\,BC \bot \left( {AA'DH} \right)} \right)\\DH \bot A'E\end{array} \right. \Rightarrow A'E \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
Suy ra \(d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'E\) , lại có \(AA'//\left( {BCC'B'} \right)\) nên
\(d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'E = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có \(A'D = AH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác \(A'DH\) vuông tại \(A'\) có \(\dfrac{1}{{A'{E^2}}} = \dfrac{1}{{A'{H^2}}} + \dfrac{1}{{A'{D^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{A'{H^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} \Leftrightarrow A'H = a\)
Thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = a.\dfrac{1}{2}a.a = \dfrac{{{a^3}}}{2}\)
Câu trả lời của bạn
+ Tâm mặt cầu là trung điểm \(I\) của đoạn \(AB\), suy ra \(I\left( {4;1;0} \right)\)
+ Lại có \(AB = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {36} = 6\) nên bán kính mặt cầu là \(R = \dfrac{{AB}}{2} = 3\).
+ Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {4;1;0} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 9\)
Câu trả lời của bạn
Gọi cạnh hình lập phương ban đầu là \(a\left( {cm} \right)\,\,\left( {a > 0} \right) \Rightarrow V = {a^3}\,\left( {c{m^3}} \right).\)
Cạnh hình lập phương sau khi tăng \(2cm\) là \(a + 2\,\left( {cm} \right) \Rightarrow {V_2} = {\left( {a + 2} \right)^3}\,\left( {c{m^3}} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_2} - V = 98 \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^3} - {a^3} = 98 \Leftrightarrow {a^3} + 6{a^2} + 12a + 8 - {a^3} - 98 = 0\\ \Leftrightarrow 6{a^2} + 12a - 90 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\,\,\left( {tm} \right)\\a = - 5\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {4;\,3; - 12} \right).\)
Vì \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Rightarrow \left( \beta \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {4;\,3; - 12} \right)\) làm VTPT.
\( \Rightarrow \left( \beta \right):\,\,4x + 3y - 12z + d = 0.\,\,\,\left( {d \ne 10} \right)\)
Ta có: \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,2;\,3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + {2^2} + {3^2} + 2} = 4.\)
Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\left( \beta \right)} \right) = R\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.1 + 3.2 - 12.3 + d} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2} + {{12}^2}} }} = 4\\ \Leftrightarrow \left| {d - 26} \right| = 52 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d - 26 = 52\\d - 26 = - 52\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 78\\d = - 26\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{\beta _1}} \right):\,\,4x + 3y - 12z + 78 = 0\\\left( {{\beta _2}} \right):\,\,4x + 3y - 12z - 26 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Gọi \(M\left( {0;\,0;\,{z_0}} \right)\,\,\,\left( {{z_0} > 0} \right)\) là giao điểm của \(Oz\) và các mặt phẳng \(\left( {{\beta _1}} \right),\,\,\left( {{\beta _2}} \right).\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M \in \left( {{\beta _1}} \right) \Rightarrow - 12{z_0} + 78 = 0 \Leftrightarrow {z_0} = \dfrac{{13}}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\M \in \left( {{\beta _2}} \right) \Rightarrow - 12{z_0} - 26 = 0 \Leftrightarrow {z_0} = - \dfrac{{13}}{6}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *