Nội dung chương Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu xoay quanh việc tính thể tích, diện tích của các vật thể tròn xoay dạng nón, trụ và hình cầu, những vật thể quen thuộc và khá phổ biến trong đời sống. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em Tổng hợp lại kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, giúp nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập.
Cho hình nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(R\), chiều cao \(h\), ta có các công thức sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=3a, AB=4a. Cho tam giác này quay quanh đường thẳng BC, tính thể tích V của khối tròn xoay thu được.
Kẻ đường cao AH của ∆ABC
Khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng BC miền tam giác ABC sinh ra hai khối nón chung đáy có bán kính đáy là R = AH và chiều cao lần lượt là HB và HC.
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Suy ra \(A{H^2} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Mặt khác: \(HB + HC = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5a.\)
Thể tích khối tròn xoay sinh ra là:
\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.\left( {HB + HC} \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{{144{a^2}}}{{25}}.5a = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}.\)
Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là 5 cm bà bán kính đường tròn đáy là 4 cm. Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi đến ngày thứ bao nhiêu bể sẽ hết nước?
Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể là là thể tích của hình hộp chữ nhật: \(V = 2.3.2 = 12\left( {{m^3}} \right).\)
Thể tích nước đựng đầy trong một gáo là: \({V_g} = \pi {4^2}.5 = 80\pi \left( {c{m^3}} \right) = \frac{\pi }{{12500}}\left( {{m^3}} \right).\)
Mội ngày bể được múc ra 170 gáo nước tức trong một ngày lượng được được lấy ra là: \({V_m} = 170.{V_g} = \frac{{17}}{{1250}}\pi \left( {{m^3}} \right)\).
Ta có: \(\frac{V}{{{V_m}}} = \frac{{12}}{{\frac{{17}}{{1250}}\pi }} \simeq 280,8616643\)
Vậy đến ngày thứ 281 bể sẽ hết nước.
Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của nó. Tìm V1, V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén.
Gọi chiều cao của chiếc chén hình trụ là 2h và bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r.
Gọi O là tâm của quả bóng bàn, khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng thiết diện bằng \(\frac{h}{2}\)
Bán kính đường tròn đáy hình trụ là \(AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \frac{{h\sqrt 3 }}{2}.\)
Thể tích của quả bóng bàn là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {h^3} = \frac{{4\pi {h^3}}}{3}.\)
Thể tích của chiếc chén là: \({V_2} = \pi {r^2}{h_c} = \pi {\left( {\frac{{h\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}.2h = \frac{{3\pi {h^3}}}{2}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a. SA vuông góc (ABC) và \(SA = 2a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Gọi M là trung điểm của BC.
Do ABC là tam giác vuông cân tại A nên: \(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 ;AM = \frac{{BC}}{2} = a\)
Dựng đường thẳng qua M song song với SA và cắt mặt phẳng trung trực của SA tại 0.
Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Do ABCD là hình chữ nhật nên: \(OM=AE=a \sqrt 2.\)
Mặc khác: \(R = OA = \sqrt {O{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3\)
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {a^3}\sqrt 3 .\)
Nội dung chương Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu xoay quanh việc tính thể tích, diện tích của các vật thể tròn xoay dạng nón, trụ và hình cầu, những vật thể quen thuộc và khá phổ biến trong đời sống. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em Tổng hợp lại kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, giúp nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Ôn tập chương 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính độ dài đường cao h của hình nón.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 13 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 14 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 15 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 16 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 17 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 18 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 2.25 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.26 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.27 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.28 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.29 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.30 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.31 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.32 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.33 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.34 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.35 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.36 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.37 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 3.38 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.39 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.40 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.41 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.42 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.43 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.44 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.45 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.46 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.47 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.48 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.49 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính độ dài đường cao h của hình nón.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón, các kích thước cho trên hình vẽ (đơn vị đo là dm). Tính thể tích V của khối dụng cụ đó.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có \(AB=AD=2a, AA' = 3\sqrt 2 a.\) Tính điện tích toàn phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài đáy bằng 3a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có chu vi là 8a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Gọi \(V_1\) là thể tích giữa khối lập phương và \(V_2\) là thể tích khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
Cho khối cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có 3 kích thước lần lượt là a, 2a, 2a. Tính thể tích V của khối cầu.
Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}},\) trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp bốn mặt hình vuông của chiếc hộp.
Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\) là:
(A) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\)
(B) \({{a\sqrt 2 } \over 4}\)
(C) \(a\sqrt 2 \)
(D) \(2a\sqrt 2 \)
Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(A) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau.
(B) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song.
(C) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau.
(D) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác MAB không đổi là:
(A) Hai đường thẳng song song
(B) Một mặt cầu
(C) Một mặt trụ
(D) Một mặt nón
Cho hai điểm phân biệt A, B cố định và phân biệt. Một đường thẳng l thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng AB2. Gọi H là hình chiếu của B trên l. Tập hợp điểm H là:
(A) Một mặt phẳng
(B) Một mặt trụ
(C) Một mặt nón
(D) Một đường tròn
Với điểm O cố định thuộc mặt phẳng (P) cho trước, xét đường thẳng l thay đổi đi qua O và tạo với (P) góc 300. Tập hợp các đường thẳng l trong không gian là:
(A) Một mặt phẳng
(B) Hai đường thẳng
(C) Một mặt trụ
(D) Một mặt nón.
Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, đường cao \({\rm{OO}}' = a\sqrt 3 \). Một đoạn thẳng AB thay đổi sao cho góc giữa AB và trục hình trụ bằng 300. A, B thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Tập hợp các trung điểm I của AB là:
(A) Một mặt trụ
(B) Một mặt cầu
(C) Một đường tròn
(D) Một mặt phẳng.
Trong mặt phẳng (P) cho góc xOy. Một mặt phẳng (Q) thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của góc xOy, cắt Ox, Oy tại A, B. Trong (Q) lấy điểm M sao cho \(\widehat {AMB} = {90^0}\). Khi ấy, tập hợp điểm M là:
(A) Một đường tròn
(B) Một mặt trụ
(C) Một mặt nón
(D) Một mặt cầu
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc AC’A’ khi quay quanh AA’ bằng:
(A) \(\pi {a^2}\sqrt 6 \)
(B) \(\pi {a^2}\sqrt 3 \)
(C) \(\pi {a^2}\sqrt 2 \)
(D) \(\pi {a^2}\sqrt 5 \)
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a. Một dây cung thay đổi của đường tròn đáy có độ dài không đổi bằng a. Tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh hình nón với trung điểm của dây cung đó là:
(A) Một mặt nón cố định
(B) Một mặt phẳng cố định
(C) Một mặt trụ cố định
(D) Một đường tròn cố định
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao OO’. Cắt hình trụ đó bằng mp \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với đáy và cách điểm O một khoảng bằng h cho trước (h < R). Khi ấy, mp \(\left( \alpha \right)\) có tính chất:
(A) Luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định;
(B) Luôn cách một mặt phẳng cho trước qua trục hình trụ một khoáng h ;
(C) Cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông ;
(D) Cả ba tính chất trên đều sai.
Một khối trụ có bán kính đáy \(a\sqrt 3 \), chiều cao \(2a\sqrt 3 \). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối trụ là:
(A) \(8\sqrt 6 \pi {a^3}\)
(B) \(6\sqrt 6 \pi {a^3}\)
(C) \(\frac{4}{3}\sqrt 6 \pi {a^3}\)
(D) \(4\sqrt 3 \pi {a^3}\)
Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là
(A) \(\sqrt 3 \)
(B) \(2\sqrt 3 \)
(C) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
(D) \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón thì có bán kính là
(A) \({{a\sqrt 3 } \over 4}\)
(B) \({{a\sqrt 2 } \over 4}\)
(C) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\)
(D) \({{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Cho một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích bằng thể tích của khối nón thì có bán kính bằng
(A) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 4}\)
(B) \({{a\root 3 \of 3 } \over 8}\)
(C) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 8}\)
(D) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 2}\)
Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng \(90^0\). Cắt hình nón bằng mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy hình nón bằng \(60^0\) . Khi đó diện tích thiết diện là
(A) \({{\sqrt 2 } \over 3}{a^2}\)
(B) \({{\sqrt 3 } \over 2}{a^2}\)
(C) \({2 \over 3}{a^2}\)
(D) \({3 \over 2}{a^2}\)
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc \(60^0\). Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là
(A) \({{3\pi {a^2}} \over 2}\)
(B) \({{3\pi {a^2}} \over 4}\)
(C) \({{3\pi {a^2}} \over 6}\)
(D) \({{3\pi {a^2}} \over 8}\)
Cho mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R. Tỉ số thể tích khối cầu và khối trụ là
(A) \(\frac{2}{3}\)
(B) \(\frac{3}{2}\)
(C) \(2\)
(D) \(\frac{1}{2}\)
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, mp(ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ. Diện tích hình vuông đó là
(A) \(\frac{{5{R^2}}}{2}\)
(B) \(5{R^2}\)
(C) \(\frac{{5{R^2}\sqrt 2 }}{2}\)
(D) \(5{R^2}\sqrt 2 \)
Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ. Ba kích thước của khối hộp chữ nhật là a, b, c. Thể tích của khối trụ là
(A) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\)
(B) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a\)
(C) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b\)
(D) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\) hoặc \(\frac{1}{4}\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a\)
hoặc \(\frac{1}{4}\pi \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b\)
Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp một khối nón. Thể tích khối nón là
(A) \(\frac{{\sqrt 3 }}{{27}}\pi {a^3}\)
(B) \(\frac{{\sqrt 6 }}{{27}}\pi {a^3}\)
(C) \(\frac{{\sqrt 3 }}{9}\pi {a^3}\)
(D) \(\frac{{\sqrt 6 }}{9}\pi {a^3}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu 1: một hình nón có chiều cao và bán kính đáy cùng bằng 2 thì diện tích xung quanh bằng ???
Câu 2 trong không gian Oxyz mặt cầu (s) d: x^2+y^2+(z-2)^2=9 có diện tích bằng???
Câu trả lời của bạn
Bạn ơi, cho mình hỏi cái này đc ko z, mình cần bạn giúp, hơi gấp!
Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và cạnh \(BD\) vuông góc với cạnh \(BC\). Biết \(AB = AD = a\), tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc \(BDA\) quanh cạnh \(AB\).
Câu trả lời của bạn
\(AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AD \bot AB \Rightarrow \Delta ABD\) vuông tại A.
Vì \(∆ABD\) vuông góc tại \(A\), nên khi quay \(BDA\) quanh \(AB\) ta được hình nón tròn xoay đường cao \(h=AB = a\) và bán kính đáy bằng \(r=AD =a\).
Gọi \(l\) là độ dài đường sinh của hình nón ta có: \(l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Vậy \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .a.a\sqrt 2 = \pi {a^2}\sqrt 2 ,\) \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\)
Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.
Câu trả lời của bạn
Giả sử ta có hình chóp \(S.ABCD\), có các cạnh bên \(SA = SB = SC = SD = ...\)
Kẻ \(SH \bot (ABCD)\), ta chứng minh được \(△SHA = △SHB = △SHC = △SHD = △...\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Suy ra \(HA = HB = HC = HD = ...\) \( \Rightarrow \) H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ABCD...
Trong tam giác \(SAH\) chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh \(SA\), đường này cắt \(SH\) ở điểm \(I \Rightarrow IA = IS\).
Do đó: \(IS = IA = IB = IC = ID = ...\) hay điểm \(I\) cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó \(I\) là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.
Hình chóp \(S.ABC\) có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh \(SA, SB, SC\) và tiếp xúc với ba cạnh \(AB, BC, CA\) tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(M, N, P\) theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(SA, SB, SC\); \(D, E, F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CA\), các điểm \(D, E, F\) đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(AB, BC, CA\).
Ta có:
\(AD = AF\) (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \(\Rightarrow AB = AC\)
Tương tự: \(BD = BE \Rightarrow BC = AB\)
\( \Rightarrow AB = BC = CA \Rightarrow △ABC\) là tam giác đều... (1)
Ta lại có \(AM = AD; BN = BD = AD\)
và \(SM = SN = SP\)
\( \Rightarrow SM + AM = SN + NB\)
\( \Rightarrow SA = SB\)
Chứng minh tương tự ta có: \(SA = SB = SC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều.
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A\) xuống mặt phẳng \((BCD)\). Chứng minh \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Tính độ dài đoạn \(AH\).
Câu trả lời của bạn
Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có \(6\) cạnh đều bằng nhau.
Từ A vẽ AH ⊥ (BCD)
Xét ba tam giác ABH, ACH và ADH có:
AB= AC = AD ( vì ABCD là tứ diện đều).
AH chung
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = \widehat {AHD} = {90^0}\)
=> ∆ ABH = ∆ ACH =∆ ADH ( ch- cgv)
Suy ra,HB = HC = HD . Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).
Do \(\Delta BCD\) đều nên \(BI = BC\sin {60^0}= \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Rightarrow BH = {2 \over 3}BI = {{a\sqrt 3 } \over 3}\);
Do tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên : \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\) \(={a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {2 \over 3}{a^2}\).
Vậy \(AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a\)
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A\) xuống mặt phẳng \((BCD)\). Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác \(BCD\) và chiều cao \(AH\).
Câu trả lời của bạn
Vì tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\), nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(r = BH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\), cũng chính là bán kính đáy của khối trụ. Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:
\(S = 2\pi rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}\) (đtdt).
Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}\) (đttt)
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Từ tâm \(O\) của hình vuông dựng đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Trên \(\Delta\) lấy điểm \(S\) sao cho \(OS ={a \over 2}\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\). Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Câu trả lời của bạn
Do \(\Delta\) là trục của hình vuông \(ABCD\), nên tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên \(\Delta\).
ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Vì \(SO = \displaystyle {a \over 2} < OC\) nên tâm \(I\) của mặt cầu nằm trên phần kéo dài của \(SO\).
Ta có: \(SI = IC \Rightarrow \displaystyle {a \over 2} + OI = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} \)
\( \Rightarrow {\left( \displaystyle {{a \over 2} + OI} \right)^2} = O{I^2} +\displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)
\( \Rightarrow O{I^2} + a.OI + \displaystyle {{{a^2}} \over 4} = O{I^2} + \displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)
\( \Rightarrow OI = \displaystyle {a \over 4} \Rightarrow R = SO + OI = \displaystyle {{3a} \over 4}\)
Vậy tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên \(SO\) mà \(SI = R =\) \(\displaystyle {{3a} \over 4}\) ; (\(R\) là bán kính hình cầu). Khi đó diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = \displaystyle {9 \over 4}\pi {a^2}\) (đvdt)
Thể tích của khối cầu là: \(V = \displaystyle {4 \over 3}\pi {R^3} = \displaystyle {9 \over {16}}{\pi a^3}\) (đvdt)
Cho hình trụ có bán kính đáy \(r\), trục \(OO' = 2r\) và mặt cầu đường kính \(OO'\). Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Câu trả lời của bạn
Hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(2r\), hình cầu có bán kính \(r\)
\(S\)mặt cầu = \(4πr^2\); \(S\)hình trụ = \(2\pi rh = 2\pi r.2r = 4\pi {r^2}\)
Vậy \(S\)mặt cầu=\(S\)hình trụ
Cho hình trụ có bán kính đáy \(r\), trục \(OO' = 2r\) và mặt cầu đường kính \(OO'\). Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.
Câu trả lời của bạn
\(V\)khối cầu = \({4 \over 3}\pi {r^3}\); \(V\)khối trụ = \(\pi {r^2}h = \pi {r^2}.2r = 2\pi {r^3}\)
Vậy \({{{V_{KT}}} \over {{V_{KC}}}} = {{2\pi {r^3}} \over {{4 \over 3}\pi {r^3}}} = {3 \over 2}\).
(A) \(\displaystyle πa^2\);
(B) \(\displaystyle πa^2\sqrt 2 \) ;
(C) \(\displaystyle πa^2\sqrt 3 \);
(D) \(\displaystyle {{\pi {{\rm{a}}^2}\sqrt 2 } \over 2}\).
Câu trả lời của bạn
Xét tam giác vuông ABC có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Hình trụ là hình ngoại tiếp hình vuông cạnh \(a\) nên có đường kính \( a\sqrt2\) đường cao của hình trụ là \(a\) \( \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \pi {a^2}\sqrt 2 \)
Chọn (B).
(A) \(πb^2\);
(B) \(πb^2\sqrt 2 \) ;
(C) \(πb^2\sqrt 3 \) ;
(D) \(πb^2\sqrt 6 \).
Câu trả lời của bạn
Hình nón tạo bởi khi quay \(AC'\) xung quanh \(AA'\) có đường sinh \(l=AC'\) và bán kính đáy \(r=C'A'\)
Xét tam giác vuông \(A'B'C'\) có: \(A'C' = \sqrt {A'B{'^2} + B'C{'^2}} = \sqrt {{b^2} + {b^2}} = b\sqrt 2=r \)
Xét tam giác vuông \(AA'C'\) có: \(AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{b^2} + 2{b^2}} = b\sqrt 3=l \)
Vậy \({S_{xq}} = \pi rl = \pi b\sqrt 2 .b\sqrt 3 = \pi {b^2}\sqrt 6 \)
Chọn (D).
(A) \({{2(a + b + c)} \over 3}\) ;
(B) 2\(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
(C) \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) ;
(D) \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Câu trả lời của bạn
Tâm \(I\) của mặt cầu đi qua \(A,B,C,S\) là giao của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và mặt phẳng trung trực của \(SA\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên trục đường tròn \(Mx\) với \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Bán kính mặt cầu \(R=IA\)
\(MI={1 \over 2} SA = {a\over 2}\), \(AM={1\over 2} BC={1\over 2} \sqrt{b^2+c^2}\)
Xét tam giác vuông \(IAM\) có: \(R = IA = \sqrt {I{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Chọn (C).
(A) Mặt nón;
(B) Mặt trụ;
(C) Mặt cầu;
(D) Mặt phẳng.
Câu trả lời của bạn
Ta có: góc MAB = α (0 < α < 90o)
Vậy M thuộc mặt nón đỉnh là A, trục là đường thẳng AB và góc ở đỉnh bằng 2α.
(A) Hình chóp tam giác (tứ diện)
(B) Hình chóp ngũ giác đều;
(C) Hình chóp tứ giác;
(D) Hình hộp chữ nhật.
Câu trả lời của bạn
Hình chóp tứ giác muốn nội tiếp một mặt cầu thì tứ giác đáy đó phải là tứ giác nội tiếp.
Chọn (C).
(A) 1;
(B) 2;
(C) 3;
(D) 4.
Câu trả lời của bạn
Khi quay các cạnh tứ diện đó xung quanh trục là cạnh \(AB\) ta được hai hình nón.
Hình nón khi quay BD quanh cạnh AB là hình nón đỉnh B, bán kính đáy AD, chiều cao AB.
Hình nón khi quay AC quanh cạnh AB là hình nón đỉnh A, bán kính đáy BC, chiều cao AB.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BD\\BC \bot AD\end{array} \right. \) \(\Rightarrow BC \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow BC \bot AB\).
Do đó khi quay quanh cạnh AB thì BC vạch nên một hình tròn chứ không tạo nên hình nón.
Tương tự khi quay AD quanh cạnh AB ta cũng không tạo nên được hình nón.
CD không cắt AB nên khi quay CD quanh cạnh AB ta cũng không tạo nên được hình nón.
Vậy có hai hình nón được tạo thành.
Chọn B.
(A) \(πa^2\) ;
(B) \(2πa^2\) ;
(C) \({1 \over 2}πa^2\) ;
(D) \({3 \over 4}πa^2\).
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\) quay xung quanh đường cao \(AH\) ta được một hình nón đỉnh A, bán kính đáy BH và đường cao AH.
Hình nón sinh ra có bán kính đáy \(r={a\over2}\) đường sinh \(l=a\) nên có diện tích xung quanh là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi {a \over 2}.a = {{\pi {a^2}} \over 2}\)
Chọn (C).
(A) \({{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
(B) \({{\pi {a^2}\sqrt 2 } \over 2}\)
(C) \({{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)
(D) \({{\pi {a^2}\sqrt 6 } \over 2}\)
Câu trả lời của bạn
Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(A'C' = a\sqrt 2 \).
Gọi \(O'\) là tâm của hình vuông \( A'B'C'D'\) thì \(O'A' = \frac{1}{2}A'C' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = SA\)
Xét tam giác vuông \(SAA'\) có: \(SA' = \sqrt {S{A^2} + AA{'^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Hình nón có đường sinh \(l=SA'=\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) và và bán kính đáy \(r=O'A'={{a\sqrt 2 } \over 2}\) nên có diện tích xung quanh là:
\({S_{xq}} = \pi .{{a\sqrt 2 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)
Chọn (C).
(A) \(\displaystyle {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);
(B) \(\displaystyle \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);
(C) \(\displaystyle \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} \);
(D) \(\displaystyle {{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} } \over 3}\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \(O\) là tâm của hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có các kích thước \(AB = a;\,\,AD = b;\,\,AA' = c\) thì \(O\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó. Do đó bán kính của mặt cầu này là \(R = OA = \frac{1}{2}AC'\).
Xét tam giác vuông \(A'B'C'\) có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2} = {a^2} + {b^2}\)
\(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow AA' \bot A'C' \Rightarrow \Delta AA'C'\) vuông tại A', do đó:
\(\begin{array}{l}
AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\
\Rightarrow R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}
\end{array}\)
Chọn (A).
(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
(B) Diện tích mặt cầu bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) diện tích toàn phần của hình trụ.
(C) Thể tích khối cầu bằng \(\displaystyle {3 \over 4}\) thể tích khối trụ.
(D) Thể tích khối cầu bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) thể tích khối trụ.
Câu trả lời của bạn
Mặt cầu có đường kính \(\displaystyle 2r\) nên có bán kính là \(\displaystyle r\) và có diện tích:
\(\displaystyle S = 4\pi {r^2}\) và \(\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {r^3}\)
Mặt trụ có bán kính \(\displaystyle r\) và chiều cao \(\displaystyle 2r\) nên có:
\(\displaystyle {S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .r.2r = 4\pi {r^2}\);
\(\displaystyle {S_{tp}}=S_{xq}+S_{2d}=4\pi {r^2} + 2\pi r^2 = 6\pi {r^2}\);
\(\displaystyle V =\pi r^2h=\pi .r.2r= 2\pi {r^3}\).
Do đó A, B, D đúng.
Chọn (C).
(A) \({1 \over 2}\pi {a^2}\sqrt 3 \) ;
(B) \({1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 2 \) ;
(C) \({1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3 \) ;
(D) \(\pi {a^2}\sqrt 3 \) .
Câu trả lời của bạn
Giả sử có tứ diện đều \(SABC\) , hình nón có đỉnh trùng với \(S\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bán kính đường tròn đáy bằng \({2\over3}\) độ dài trung tuyến \(ABC\)
\(r = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
Đường sinh hình nón bằng cạnh \(SA=a\).
Diện tích xung quanh của hình nón là:
\({S_{xq}} = \pi rl = {1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3 \)
Chọn (C).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *