Nội dung chương Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu xoay quanh việc tính thể tích, diện tích của các vật thể tròn xoay dạng nón, trụ và hình cầu, những vật thể quen thuộc và khá phổ biến trong đời sống. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em Tổng hợp lại kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, giúp nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập.
Cho hình nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(R\), chiều cao \(h\), ta có các công thức sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=3a, AB=4a. Cho tam giác này quay quanh đường thẳng BC, tính thể tích V của khối tròn xoay thu được.
Kẻ đường cao AH của ∆ABC
Khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng BC miền tam giác ABC sinh ra hai khối nón chung đáy có bán kính đáy là R = AH và chiều cao lần lượt là HB và HC.
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Suy ra \(A{H^2} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\)
Mặt khác: \(HB + HC = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5a.\)
Thể tích khối tròn xoay sinh ra là:
\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.\left( {HB + HC} \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{{144{a^2}}}{{25}}.5a = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}.\)
Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là 5 cm bà bán kính đường tròn đáy là 4 cm. Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi đến ngày thứ bao nhiêu bể sẽ hết nước?
Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể là là thể tích của hình hộp chữ nhật: \(V = 2.3.2 = 12\left( {{m^3}} \right).\)
Thể tích nước đựng đầy trong một gáo là: \({V_g} = \pi {4^2}.5 = 80\pi \left( {c{m^3}} \right) = \frac{\pi }{{12500}}\left( {{m^3}} \right).\)
Mội ngày bể được múc ra 170 gáo nước tức trong một ngày lượng được được lấy ra là: \({V_m} = 170.{V_g} = \frac{{17}}{{1250}}\pi \left( {{m^3}} \right)\).
Ta có: \(\frac{V}{{{V_m}}} = \frac{{12}}{{\frac{{17}}{{1250}}\pi }} \simeq 280,8616643\)
Vậy đến ngày thứ 281 bể sẽ hết nước.
Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của nó. Tìm V1, V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén.
Gọi chiều cao của chiếc chén hình trụ là 2h và bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r.
Gọi O là tâm của quả bóng bàn, khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng thiết diện bằng \(\frac{h}{2}\)
Bán kính đường tròn đáy hình trụ là \(AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \frac{{h\sqrt 3 }}{2}.\)
Thể tích của quả bóng bàn là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {h^3} = \frac{{4\pi {h^3}}}{3}.\)
Thể tích của chiếc chén là: \({V_2} = \pi {r^2}{h_c} = \pi {\left( {\frac{{h\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}.2h = \frac{{3\pi {h^3}}}{2}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a. SA vuông góc (ABC) và \(SA = 2a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Gọi M là trung điểm của BC.
Do ABC là tam giác vuông cân tại A nên: \(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 ;AM = \frac{{BC}}{2} = a\)
Dựng đường thẳng qua M song song với SA và cắt mặt phẳng trung trực của SA tại 0.
Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Do ABCD là hình chữ nhật nên: \(OM=AE=a \sqrt 2.\)
Mặc khác: \(R = OA = \sqrt {O{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3\)
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {a^3}\sqrt 3 .\)
Nội dung chương Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu xoay quanh việc tính thể tích, diện tích của các vật thể tròn xoay dạng nón, trụ và hình cầu, những vật thể quen thuộc và khá phổ biến trong đời sống. Nội dung bài ôn tập chương sẽ giúp các em Tổng hợp lại kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải bài tập, giúp nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Ôn tập chương 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính độ dài đường cao h của hình nón.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 50 SGK Hình học 12
Bài tập 1 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 51 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 52 SGK Hình học 12
Bài tập 11 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 12 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 13 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 14 trang 53 SGK Hình học 12
Bài tập 15 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 16 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 17 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 18 trang 54 SGK Hình học 12
Bài tập 2.25 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.26 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.27 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.28 trang 62 SBT Hình học 12
Bài tập 2.29 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.30 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.31 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.32 trang 63 SBT Hình học 12
Bài tập 2.33 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.34 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.35 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.36 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.37 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 3.38 trang 64 SBT Hình học 12
Bài tập 2.39 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.40 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.41 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.42 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.43 trang 65 SBT Hình học 12
Bài tập 2.44 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.45 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.46 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.47 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.48 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 2.49 trang 66 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 1 trang 63 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 64 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 65 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 15 trang 66 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 16 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 17 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 18 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 19 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 20 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 21 trang 67 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 22 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 23 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 24 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 25 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 26 trang 68 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính độ dài đường cao h của hình nón.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón, các kích thước cho trên hình vẽ (đơn vị đo là dm). Tính thể tích V của khối dụng cụ đó.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có \(AB=AD=2a, AA' = 3\sqrt 2 a.\) Tính điện tích toàn phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài đáy bằng 3a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có chu vi là 8a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Gọi \(V_1\) là thể tích giữa khối lập phương và \(V_2\) là thể tích khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
Cho khối cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có 3 kích thước lần lượt là a, 2a, 2a. Tính thể tích V của khối cầu.
Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}},\) trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp bốn mặt hình vuông của chiếc hộp.
Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả banh. Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả banh, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) là:
A. 1
B. 5
C. 2
D. Tỉ số là một số khác.
Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a, b, c. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Diện tích của mặt cầu (S) theo a, b, c là:
A. \(\pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
B. \(2\pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
C. \(4\pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
D. \(\frac{\pi }{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Gọi d là khoảng cách từ O tới \(\left( \alpha \right)\). Khi d < R thì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng:
A. \(\sqrt {{R^2} + {d^2}} \)
B. \(\sqrt {{R^2} - {d^2}} \)
C. \(\sqrt {Rd} \)
D. \(\sqrt {{R^2} - 2{d^2}} \)
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(BC = 2a\) và \(\hat B = {30^0}\). Quay tam giác vuông này quanh trục AB, ta được một hình nón đỉnh B. Gọi S1 là diện tích toàn phân của hình nón đó và S2 là diện tích mặt cầu có đường kính AB. Khi đó, tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) là:
A. 1
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{3}{2}\)
Cho một hình nón với thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a có diện tích xung quanh là S1 và một mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón có diện tích S2. Khi đó hệ thức giữa S1 và S2 là:
A. S1 = S2
B. S1 = 4S2
C. S2 = 2S1
D. 2S2 = 3S1
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón là:
A. \(\pi {a^2}\sqrt 2 \)
B. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{4}\)
C. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(\frac{{2\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\)
Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng \(a\sqrt 2 \) và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600. Diện tích xung quanh Sxq của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là:
A. \({S_{xq}} = \pi {a^2},V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}\)
B. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}}}{2},V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
C. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\sqrt 2 ,V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}\)
D. \({S_{xq}} = \pi {a^2},V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)
Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và \(AC = a\sqrt 3 \). Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB, ta được một khối nón có độ dài đường sinh là:
A. \(l = 2a \) B. \(l = a\sqrt 2 \)
C. \(l = a\sqrt 3 \) D. \(l = a \)
Cho hình trụ có bán kính đáy a và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ là:
A. \(3\pi {a^2}\) B. \(2\pi {a^2}\)
C. \(4\pi {a^2}\) D. \(\pi {a^2}\)
Cho khối trụ có bán kính đáy bằng a và thiết diện đi qua trục là một hình vuông. Thể tích khối trụ là:
A. \(2\pi {a^3}\) B. \(\frac{2}{3}\pi {a^3}\)
C. \(4\pi {a^3}\) D. \(\pi {a^3}\)
Cho mp (P) và điểm A không thuộc (P). Chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên (P) luôn luôn đi qua hai điểm cố định.
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết \(SA = SB = SC = a,\widehat {ASB} = {60^0},\widehat {BSC} = {90^0},\widehat {CSA} = {120^0}\)
Cho hai đường tròn (O;r) và (O′;r′) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P′).
a) Chứng minh rằng có mặt cầu (S) đi qua hai đường tròn đó.
b) Tìm bán kính R của mặt cầu (S) khi
\(r = 5,r' = \sqrt {10} ,AB = 6,OO\prime = \sqrt {21} \)
Cho hình nón (N) sinh bởi tam giác đều cạnh aa khi quay quanh một đường cao của tam giác đó.
a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?
b) Một khối cầu có thể tích của khối nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b . Gọi V1, V2, V3 là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.
a) Tính V1, V2, V3 theo b, c
b) Chứng minh rằng \(\frac{1}{{V_3^2}} = \frac{1}{{V_1^2}} + \frac{1}{{V_2^2}}\)
Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, BD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.
Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì
(A) Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.
(B) Hình lập phương có thể tích lớn nhất.
(C) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác 0 có thể tích lớn nhất.
(D) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất.
Một hình cầu có thể tích \(\frac{4}{3}\pi \) ngoại tiếp một hình lập phương. Trong các số sau đây, số nào là thể tích khối lập phương?
(A) \(\frac{{8\sqrt 3 }}{9}\)
(B) \(\frac{8}{3}\)
(C) \(1\)
(D) \(2\sqrt 3 \)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(A) Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
(B) Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.
(C) Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
(D) Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\)
(A) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
(B) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
(C) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
(D) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 60 độ. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
Câu trả lời của bạn
mình nghĩ câu hỏi của bạn chắc là nhầm thì phải.đáp án diện tích phải là:8π\(a^2\)
có phải bạn muốn tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp ko?nếu tìm bán kính ta làm như sau:SA=tan(60).AC=\(\sqrt{6}\)a
gọi O là tâm đáy suy ra AO=\(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).từ O kẻ đt d vuông góc vs đáy .gọi Mlà trung điểm SA.trong mp(SAO) từ Mkẻ đt vuông góc SA cắt d tại I. I là tâm mặt cầu
R=IA=\(\sqrt{AI^2+AO^2}=a\sqrt{2}\)
cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh \(2a\sqrt{2}\) . Diện tích xung quanh của khối nón là:
Câu trả lời của bạn
gọi thiết diện là tam giác đềuSAB (S chính là đỉnh hình nón,do thiết diện đi qua trục
R=0,5.AB=\(\sqrt{2}\)a
S=πRl=π\(\sqrt{2}\)a.2 \(\sqrt{2}\)a=4\(a^2\)
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Câu trả lời của bạn
Gọi G là trọng tâm đáy
tam giác ABC đều nên G cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
suy ra AG=\(\frac{a}{\sqrt{3}}\).
Do SA=SB=SC=2a nên S cách đều A,B,C.từ đÓ SG vuông góc mp đáy tại G
Trong mp(SAG).gọi Mlà trung điểm SA,từ M kẻ đt vuông góc SA cắt SG tại I
nhận thấy I là tâm mặt cầu cần tìm
xét hai tam giác đồng dạng SMI vàSGA có
\(\frac{SM}{SG}=\frac{SI}{SA}\) từ đó suy ra R= SI=\(\frac{2a\sqrt{33}}{11}\)
Cho hình trụ có bán kính đáy r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO'
a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ đó ?
b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho ?
Câu trả lời của bạn
a, Diện tích của mặt cầu là: \(S_c=4\pi r^2\)
Diện tích xung quanh của mặt trụ là: \(S_t=2\pi rh=4\pi r^2\)
Vậy Sc = St
b, Thể tích của khối trụ là: \(V_t=\pi r^2h=2\pi r^2\)
Thể tích của khối cầu là: \(V_c=\dfrac{4}{3}\pi r^2\)
Vậy \(V_t=\dfrac{3}{2}V_c\)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a; AB = b; AD = c
a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó
b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên
Câu trả lời của bạn
Hướng dẫn giải:
a) Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo AC", BD', CA" và DB" căt nhau tại điểm I là trung điểm của mỗi đường.
Vì 4 đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm I cách đề 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.
Vì AB = b, AD = c, AA' = a nên bán kính mặt cầu .
b) Giao tuyến của mặt phẳng ABCD với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là hai đwòng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Nên bán kính của đường trong giao tuyến là
cho tứ diện ABCD với AB=AC=a. BC=b, hai mặt phẳng BCD và ABC cuông góc với nhau và góc BDc bằng 90 độ. xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Câu trả lời của bạn
Gọi H là trung điểm BC
Vì \(\Delta BDC\) vuông tại D nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BDC\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AH vuông góc với BC
Mà (ABC) vuông góc (BDC) nên AH vuông góc với (BDC) tại H
\(\Rightarrow\) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD phải nằm trên đường thẳng AH
Chọn điểm O thuộc đường thẳng AH sao cho OA=OB thì O chính là tâm mặt cầu cần tìm
(bạn tự tính) được \(R=\frac{a^2}{b}\)
Câu 12: Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết diện qua trục là tam giác đều là:
A. 8 căn3 phần 3
B. 8 căn 2 phần 3
C. 4 căn 2 phần3
D. 8 căn 6 phần 3
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Gọi thiết diện qua trục là tam giác đều \(ABC\) có cạnh là $a$ , tâm đường tròn là \(H\)
Ta có \(BH=\frac{a}{2},AH=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
Theo hệ thức trong tam giác vuông \(\frac{1}{d(H,AB)^2}=\frac{1}{BH^2}+\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{9}\)
\(\Leftrightarrow \frac{16}{3a^2}=\frac{1}{9}\Rightarrow a=4\sqrt{3}\)
Suy ra diện tích toàn phần của hình nón:
\(S_{tp}=\pi Rl+\pi R^2=36\pi\)
cho hinh nón có góc ở đỉnh bằng 60• diện tích xung quanh = 6bi a bình phương . tính thể tích khối nón đã cho
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Theo đề bài. mặt phẳng thiết diện đi qua đỉnh và hai đường sinh của hình nón là một tam giác cân có góc ở đỉnh là 60 độ. Gọi tam giác đó là $ABC$
Từ $A$ kẻ \(AH\perp BC\) thì $AH$ cũng chính là đường phân giác
\(\Rightarrow \angle BAH=30^0\)
\(S_{xq}=\pi rl=\pi .BH.BA=6\pi a^2\Rightarrow BH.BA=6a^2\)(1)
Có \(\frac{BH}{BA}=\sin BAH=\sin 30=\frac{1}{2}\Rightarrow BA=2BH\)(2)
Từ \((1);(2)\Rightarrow BH^2=3a^2\Rightarrow BH=\sqrt{3}a\)
\(\frac{BH}{AH}=\tan BAH=\tan 30=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AH=3a\)
Do đó: \(V_{\text{chóp}}=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi .BH^2.AH=3\pi a^3\)
cắt hình nón (N) bằng một mắt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 3a2. diện tích xung quanh của (N) là
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Theo cách cắt, cạnh góc vuông của tam giác vuông thiết diện chính là độ dài đường sinh, còn cạnh huyền của tam giác đó là đường kính (2r) của đáy nón.
Diện tích tam giác vuông đó là:
\(\frac{l^2}{2}=3a^2\Leftrightarrow l^2=6a^2\Leftrightarrow l=\sqrt{6}a\)
Mặt cắt là tam giác vuông cân thì theo định lý Pitago ta có:
\(l^2+l^2=(2r)^2\Leftrightarrow l^2=2r^2\Leftrightarrow l=\sqrt{2}r\)
\(\Rightarrow r=\frac{l}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}a\)
Do đó diện tích xung quanh của (N) là:
\(S_{xq}=\pi rl=\pi. \sqrt{3}a.\sqrt{6}a=3\sqrt{2}a^2\pi\) (đơn vị diện tích )
cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là anpha. một mặt phẳng (P) sog song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h, cắt hình nón theo đường tròn (C). tính bán kính đtron (C) theo R,h và anpha
Câu trả lời của bạn
Dựng mặt phẳng (Q) chứa đường cao SO của hình chóp
Ta được thiết diện là tam giác SAB như hình vẽ
\(\Rightarrow OI=h;OA=OB=R;\widehat{ASO}=\widehat{BSO=\alpha}\)
(P) cắt (Q) qua giao tuyến MN, MN cắt SO tại điểm I \(\Rightarrow\) IM=IN=r (bán kính đường tròn (C) )
Tam giác SIN đồng dạng với tam giác SOB
\(\Rightarrow\frac{SI}{SO}=\frac{IN}{OB}\Leftrightarrow IN=\frac{SI.OB}{SO}=\frac{\left(SO-MO\right).OB}{SO}=\frac{\left(OB.cot\widehat{OSB}-MO\right).OB}{OB.cot\widehat{OSB}}\\ \Rightarrow r=\frac{Rcot\alpha-h}{Rcot\alpha}=1-\frac{h}{Rcot\alpha}\)
Một hình trụ có bán kính đáy bằng a chiều cao OO'=a\(\sqrt{3}\) .Hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đáy (O), (O') sao cho góc giữa OO' và AB bằng 300 .Khoảng cách giữa AB và OO' bằng:
A.\(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) B.\(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) C. \(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) D. \(a\sqrt{3}\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Từ $A$ kẻ $AA'$ song song với trục $OO'$ ( $A'$ nằm trên đáy có tâm $O'$)
Khi đó \(AA'=OO'=a\sqrt{3}\) và \(AA'\) vuông góc với hai đáy.
\(AA'\parallel OO'\Rightarrow OO'\parallel (AA'B)\)
\(\Rightarrow d(OO', AB)=d(OO', (AA'B))=d(O', (AA'B))\)
Kẻ \(O'H\perp A'B\)
\(\left\{\begin{matrix} O'H\subset (\text{ đáy})\rightarrow O'H\perp AA'\\ O'H\perp A'B \end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow O'H\perp (AA'B)\)
\(\Rightarrow O'H=d(O', (AA'B))=d(OO', AB)\)
-------------------------------------------
Do \(OO'\parallel AA'\) nên:
\((OO', AB)=30^0\Rightarrow (AA', AB)=30^0\Leftrightarrow \angle BAA'=30^0\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}=\tan BAA'=\frac{BA'}{AA}=\frac{BA'}{a\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow BA'=a\Rightarrow BH=\frac{a}{2}\)
\(O'H=\sqrt{O'B^2-BH^2}=\sqrt{r^2-BH^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)
\(\Leftrightarrow d(AB,OO')=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)
Đáp án B
Câu trả lời của bạn
Từ đề bài ta suy ta ABCD là hình thang cân.
Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A và B lên CD.
Ta có:
\(\begin{array}{l}DE = EF = FC = 1\\AE = BF = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \end{array}\)
Khi đó quay hình thang ABCD quanh AB sẽ tạo thành hai hình nón và một hình trụ có cùng bán kính \(R = \sqrt 3 \) và chiều cao h=1.
Vậy thể tích khối tròn xoay thu được là: \(V = \pi {R^2}h + \frac{1}{3}\pi {R^2}h + \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{5}{3}\pi {R^2}h = 5\pi .\)
Cho hinh trụ có bán kính R va đường cao 3R/2 mặt phẳng (a) // với trụ cua hinh trụ va cách trục mot khoãng R/2 tinh dien tich thiet diện cua hinh trụ do voi (a)???
Câu trả lời của bạn
Tương tư bài này nhé, đổi các giá trị độ dài là được: https://dapanhay.com/cau-hoi-cat-hinh-tru-co-ban-kinh-day-la-r-5-cm-khoang-cach-giua-hai-day-la-7-cm-bang-mot-mat-phang-song-s-32681.html
cho hình nón tròn xoay có đường cao h=40, bán kính đáy r=50.một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện la 24.tính diện tích của thiến diện
Hỡi các ae trên giang hồ làm ơn giúp mình với plssssssssssss
Câu trả lời của bạn
cảm ơn mem nhiều
Y chang bài này, đổi số tính là ra thôi nhé!
Trong không gian , cho hình chữ nhật ABCD có AB=1 và AD=2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó: A.4pi B.2pi
C. 6pi. D.10pi
Câu trả lời của bạn
Em tham khảo ở đây nhé! https://dapanhay.com/cau-hoi-trong-khong-gian-cho-hinh-chu-nhat-abcd-co-ab-1-ad-2-goi-m-n-lan-luot-la-trung-diem-cua-ad-va-bc-36254.html
Một hình tứ diện đều có cạnh bằng a ,có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón ,ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón .Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là ?
Câu trả lời của bạn
H là hình chiếu của đỉnh A lên mp(BCD) ta có H là tâm đường tròn đáy của hình chóp và bán kính đường tròn này là:
\(r=BH=\frac{2}{3}BM=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Chiều cao \(AH=\sqrt{BA^2-HB^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
Diện tích xung quanh của hình nón là:
\(S=\pi.r.AH=\frac{\pi.a^2\sqrt{2}}{3}\)
⇒ Chọn đáp án B.
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(1; 1; 0); B(1; 0; 2); C(2;0; 1), D(-1; 0; -3). Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của một hình chóp và viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó .
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overline{AB}=(0;-1;2);\overline{AC}=(1;-1;1);\overline{AD}=(-2;-1;-3)\)
\(\left [ \overline{AB},\overline{AC} \right ]=(1;2;1);\left [ \overline{AB},\overline{AC} \right ].\overline{AD}=-7\)
Do \(\left [ \overline{AB},\overline{AC} \right ].\overline{AD}=-7\neq 0\), nên 3 vecto \(\overline{AB},\overline{AC},\overline{AD}\) không đồng phẳng suy ra A, B, C, D là 4 đỉnh của một hình chóp.
Gọi phương trình mặt cầu có dạng \(x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0\) (với \(a^2+b^2+c^2-d>0\))
Do mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} 2a+2b+d=-2\\ 2a+4c+d=-5\\ 4a+2c+d=-5\\ -2a-6c+d=-10 \end{matrix}\right.\)
Giải hệ suy ra \(a=\frac{5}{14};b=\frac{31}{14};c=\frac{5}{14};d=-\frac{50}{7}\)
Vậy phương trình mc là: \(x^2+y^2+z^2+\frac{5}{7}x+\frac{31}{7}y+\frac{5}{7}z-\frac{50}{7}=0\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *