Những vật thể có dạng mặt cầu hay khối cầu hết sức quen thuộc trong cuộc sống hằng ngày từ vật thể nhỏ như quả bóng hay đến Trái đất đều là một khối cầu. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và các công thức tính diện tích Mặt cầu, thể tích Khối cầu cùng với đó là những bài tập minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.
Kí hiệu: \(S\left( {O;r} \right) = \left\{ {M|OM = r} \right\}.\)
Dây cung CD và đường kính AB.
Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;r) thì:
Cho mặt cầu S(O;r) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).
Khi đó h=OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P).
Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.
Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng ∆. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên ∆, đặt h=OH. Ta có:
Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là \(\Delta\) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và vuông góc với mặt đáy. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Xét các tam giác SAB, SBC, SDC, SAC đều là những tam giác vuông, và có chung SC là cạnh huyền.
Vậy trung điểm I của SC chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\).
Xét tam giác SAC vuông tại A ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 13a\).
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: \(R=\frac{{13a}}{2}\).
Diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2}=169\pi a^2.\)
Thể tích khối cầu là: \(V=\frac{4}{3}\pi .R^3=\frac{2197}{6}\pi a^3.\)
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a.
Gọi H là tâm của tam giác đều BCD.
Dễ thấy A nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp ABCD thì O nằm trên AH.
Đặt OH=x (x>0)
Ta có:
\(BH = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}a.\sin {60^0} = a.\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
\(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} = a\sqrt {\frac{2}{3}}\)
\(OA = AH - x = a\sqrt {\frac{2}{3}} - x\)
\(BO = \sqrt {B{H^2} + H{O^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}}\)
Mặt khác: \(OA = OB \Leftrightarrow a\sqrt {\frac{2}{3}} - x = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).
Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên AH và cách (BCD) một khoảng \(OH=\frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}.\)
Bán kính của mặt cầu là \(R=OA=a\sqrt {\frac{2}{3}} - \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có OA=a, OB=b,OC=c và OA,OB,OC đôi một vuông góc.
Gọi H là trung điểm của AB.
Dễ thấy H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB.
Mặt phẳng trung trực của SC cắt trục đường tròn (SAB) tại O.
Ta có O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Do OHSM là hình chữ nhật nên: \(MS=OH=\frac{1}{2}c\).
\(\begin{array}{l} R = SO = \sqrt {S{H^2} + H{O^2}} = \sqrt {{{\frac{{AB}}{4}}^2} + H{O^2}} \\ = \sqrt {{{\frac{{S{A^2} + SB}}{4}}^2} + H{O^2}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}. \end{array}\)
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, góc giữa AB’ với mặt đáy là 450. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
\(B'B = AB.\tan {45^0} = a\).
Gọi O, O’ lần lượt là trọng tâm các tam giác đều ABC và A’B’C’.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là trung điểm I của OO’.
Do A'B'C' là tam giác đều nên \(O'C'=\frac{a \sqrt3}{3}.\)
\(IO'=\frac{1}{2}BB'=\frac{a}{2}.\)
Suy ra: \(R = IC' = \sqrt {IO{'^2} + O'C{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\).
Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{7}{3}\pi {a^2}\).
Những vật thể có dạng mặt cầu hay khối cầu hết sức quen thuộc trong cuộc sống hằng ngày từ vật thể nhỏ như quả bóng hay đến Trái đất đều là một khối cầu. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và các công thức tính diện tích Mặt cầu, thể tích Khối cầu cùng với đó là những bài tập minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình lập phương có cạnh bằng a và tâm I. Tính diện tích S của mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt của hình lập phương.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Tính diện tích S của mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 7 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 8 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 9 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 10 trang 49 SGK Hình học 12
Bài tập 2.13 trang 60 SBT Hình học 12
Bài tập 2.14 trang 60 SBT Hình học 12
Bài tập 2.15 trang 60 SBT Hình học 12
Bài tập 2.16 trang 60 SBT Hình học 12
Bài tập 2.17 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.18 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.19 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.20 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.21 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.22 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 2.23 trang 61 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 45 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 46 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 46 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Cho hình lập phương có cạnh bằng a và tâm I. Tính diện tích S của mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt của hình lập phương.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Tính diện tích S của mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm nào?
Đường kính của một khối cầu bằng cạnh của một khối lập phương. Gọi V1 là thể tích khối lập phương, V2 là thể tích khối cầu. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, cạnh bên 2a. Tìm bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu có ba kích thước là a, b, c. Tìm bán kính r của mặt cầu bằng?
Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}},\) trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp bốn mặt hình vuông của chiếc hộp.
Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % thể tích hình hộp.
Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi (dm^3)\) . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình.
Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước
Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Từ một điểm M nằm nằm bên ngoài mặt cầu S( O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.
a) Chứng minh rằng MA>MB = MC>MD.
b) GỌi MO = d. Tính MA>MB theo r và d.
Gọi mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M kẻ hai tiếp tuyến cắt của mặt cầu cắt (p) tại A và B. Chứng minh rằng .
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c.
a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến cưa mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên.
Chứng minh rắng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.
Cho một điểm A cố định và một đường thẳng α cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên \(\alpha\). Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O và bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đếu nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó
Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với \((\alpha )\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \((\beta )\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \((\beta )\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.
b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.
Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.
Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ′ có AA' là đoạn vuông góc chung, trong đó A ∈ Δ và A′ ∈ Δ′. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với Δ′ và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng \((\alpha )\) lần lượt cắt Δ và Δ′ tại M và M’. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng \((\alpha )\) là M1.
a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc \(\varphi = ({\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}})\)
b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.
Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a) \(\widehat {BAC} = {90^0}\)
b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và b = c
c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và b = c
Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h (0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của (C)
a) Chứng minh các tổng AD2 + BC2 và AC2 + BD2 có giá trị không đổi.
b) Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất?
c) Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn (C).
Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \). Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.
a) Chứng minh rằng mặt cầu đó đi qua trung điểm của AB và AC.
b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D. Tính độ dài của AD và SD.
Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.
Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.
Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và \((\alpha )\) bằng 300.
a) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi \((\alpha )\) và hình cầu.
b) Đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và đường cao đều bằng a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Câu trả lời của bạn
- Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Hình chóp S.ABCD đều nên SH là trục của đáy ABCD. Khi đó tâm O của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp và trục SH.
Trong ∆SAH vuông kẻ đường trung trực của cạnh SA, gọi O là giao điểm của đường trung trực này với SH.
Khi đó SO là bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Trong ∆SAH có \(SA=\sqrt{SH^2+HA^2}=\frac{2\sqrt{6}}{2}\)
Gọi I là trung điểm của SA. Ta có \(\Delta SHA\sim \Delta SIO \Rightarrow SO=\frac{SI.SA}{SH}=\frac{3a}{4}\)
Thể tích khối cầu là \(V=\frac{4\pi }{3}(\frac{3a}{4})^3=\frac{9\pi a^3}{16}\) (đvtt)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc \(45^{\circ}\).
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a
2. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a
3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) theo a
Câu trả lời của bạn
:)
1. \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.dt(ABCD)\)
Trong đó dt(ABCD) = \(a^{2}\)
Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) bằng góc \(\sum SD=45^{\circ}\Rightarrow SA=AD\cot \sum SD=a\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}}{3}\)
2. Gọi I là trung điểm của SC, ta có IS = IC = ID = IA = IB ( do các tam giác SAB, SBC, SCD là các tam giác vuông) nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bán kính mặt cầu \(R=\frac{SC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
3. Vì O là trung điểm của AC nên \(d(O;(SCD))=\frac{1}{2}d(A;(SCD))\)
Gọi H là hình chiếu của A trên SD, ta có
\(\left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! AH\perp SD\\(SAD)\perp (SCD) \end{matrix}\right.\Rightarrow AH\perp (SCD),\) Từ đó dẫn đến \(d(O,(SCD))=\frac{1}{2}AH\)
Trong tam giác vuông SAD, ta tính được \(AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}\) suy ra \(D(O,(SCD))=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) thuộc miền trong của tam giác ABC. Biết AB = 6; AC = 8; BC = 10, các góc giữa các mặt bên với mặt đáy bằng nhau và bằng \(60^{\circ}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua đỉnh S và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.
Câu trả lời của bạn
Gọi O là hình chiếu của S lên (ABC). Từ giả thiết suy ra O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có nửa chu vi p = 12, diện tích tam giác ABC bằng 24. Giả sử (O) tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M, N, P. Khi đó S = 12.OM => OM = 2
Tam giác SOM vuông tại O, \(\widehat{SMO}=60^{\circ}\) nên \(SO=2\sqrt{3},\) từ đó thể tích khối chóp \(V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SO=16\sqrt{3}\)
Gọi I là tâm mặt cầu đi qua đỉnh S và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC. Khi đó ta phải có IM = IN = IP = IS, suy ra I là giao điểm của SO với đường trung trực của cạnh SM trong tam giác SMO, hay I là trọng tâm tam giác đều SMM' với M' đối xứng với M qua O.
Từ đó bán kính mặt cầu cần tìm là \(IM=\frac{20M}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(ABC=60^{\circ}\), cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc \(60^{\circ}\).
1) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
2) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SD.
3) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.
Câu trả lời của bạn
1. \(SA\perp (ABCD)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC trên (ABCD) nên \((SC,(ABCD))=(SC,AC)=SCA=60^{\circ}\)
Tam giác ABC có AB = BC = a, \(ABC=60^{\circ},\) nên tam giác ABC đều => AC = a
Trong tam giác SAC vuông tại A nên \(SA=AC.\tan 60^{\circ}=a\sqrt{3}\)
Diện tích ABCD là \(S_{ABCD}=2S_{\triangle ABC}=2.\frac{1}{2}AB.BC\sin 60^{\circ}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\)
Thể tích S.ABCD là \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{a^{3}}{2}\)
2. Kẻ \(AH\perp CD(H \in CD),\) tam giác ACD đều cạnh a, đường cao \(AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Trong tam giác vuông SAH có \(SH=\sqrt{SA^{2}+HA^{2}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}\)
Do \(SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp CD,CD\perp AH\Rightarrow CD\perp SH\)
Diện tích tam giác SAD là \(S_{\triangle SCD}=\frac{1}{2}SH.CD=\frac{a^{2}\sqrt{15}}{4}\)
\(V_{S.ACD}=\frac{d(A,(SCD)).S_{\triangle SCD}}{3}=\frac{1}{3}SA.S_{\triangle ACD}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow d(A,(SCD))=\frac{3a^{3}}{4S_{\triangle SAD}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}\)
Do AB // (SCD) nên \(d(B,(SCD))=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))=\frac{a\sqrt{15}}{5}\)
3. Do CA = CB = CD = a nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Kẻ Cx / SA, trong (SAC) kẻ trung trực My của SA cắt Cx tại O. O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD.
Thật vậy, \(Cx//SA\Rightarrow Cx\perp (ABD)\Rightarrow OC\perp (ABD)\) mà CA = CB = CD nên OA = OB = OD. Mặt khác O nằm trên trung trực của SA nên OA = OS => OA = OB = OD = OS => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD bán kính r = OA
Dễ thấy MACO là hình chữ nhật nên \(r=\sqrt{AC^{2}+AM^{2}}=\sqrt{a^{2}+(\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, \(AB=4,AD=4\sqrt{3},\) các cạnh bên bằng nhau và bằng 6, gọi M là trung điểm của OC. Tính thể tích khối chóp S.ABMD và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOCD.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(SA=SB=SC=SD=6\Rightarrow SO\perp (ABCD)\)
\(\triangle SOA=\triangle SOB=\triangle SOC=\triangle SOD\Rightarrow OA=OB=OC=OD\Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow S_{ABCD}=AB.AD=4.4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\)
Ta có: \(BD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{4^{2}+(4\sqrt{3})^{2}}=8\Rightarrow SO=\sqrt{SB^{2}-OB^{2}}=2\sqrt{5}\)
Vậy \(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.2\sqrt{5}.16\sqrt{3}=\frac{32\sqrt{15}}{3}\Rightarrow V_{S.ABMD}=\frac{3}{4}.V_{S.ABCD}=8\sqrt{15}\)
+ Gọi G là trọng tâm \(\triangle OCD,\) vì \(\triangle OCD\) đều nên G là trọng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\triangle OCD\). Dựng đường thẳng d đi qua G và song song với SO
\(\Rightarrow d\perp (ABCD)\) nên d là trục đường tròn (OCD). Trong mặt phẳng (SOG) dựng đường thẳng trung trực của SO, cắt d tại K, cắt SO tại I ta có OI là trung trực của SO ⇒ KO = KS, do KO = KC = KD ⇒ K là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOCD.
Ta có: \(GO=\frac{CD}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}};R=KO=\sqrt{OI^{2}+OG^{2}}=\sqrt{(\frac{2\sqrt{5}}{2})^{2}+(\frac{4}{\sqrt{3}})^{2}}=\frac{\sqrt{93}}{3}.\) Do đó diện tích mặt cầu Scầu = \(4\pi R^{2}=4\pi (\frac{\sqrt{93}}{3})^{2}=\frac{124\pi}{3}\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, góc SBC bằng 600, mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC).
1. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
2. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
Câu trả lời của bạn
1.
Gọi O là trung điểm AC. Vì tam giác SAC cân nên SO \(\perp\) AC
\(\Rightarrow SO\perp (ABC)((SAC)\perp (ABC))\)
Vì \(OA=OC=\frac{a}{2}, OB=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) nên
Đặt \(SO=m\) thì \(SB^2=m^2+\frac{3a^2}{4}, SC^2=m^2+\frac{a^2}{4}\)
Vì góc SBC bằng 600 nên
\(cos60^0=cos(\overline{BS},\overline{BC})\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{3a^2}{2\sqrt{3a^2+4m^2}}\Leftrightarrow \sqrt{3a^2+4m^2}=3a^2\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SO.S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{2}a^3}{8}\) (đvtt)
2.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trong mp(SOB), từ I dựng đường thẳng IM //SO, M trên SB
Do SO vuông với (ABC) suy ra IM vuông với (ABC) hay đường thẳng IM là trục đường tròn của tam giác ABC.
Gọi N là trung điểm SB Trong tam giác SOB, từ N dựng đường trung trực của cạnh SB, cắt IM tại X.
Suy ra X là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
Theo 1) ta có \(SB=\frac{3a}{2}. SN=\frac{3a}{4}\)
Ta có SN.SB=SK.SO suy ra SK = \(\frac{9a}{4\sqrt{6}}\)
\(KN=SK.sinOSB =\frac{3a}{4\sqrt{2}}\)
\(XN = \frac{1}{3}KN =\frac{a}{4\sqrt{2}}\)
\(BX=\frac{a\sqrt{38}}{8}\)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là \(\frac{a\sqrt{38}}{8}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *