Ở lớp 10, các em đã được học các dạng toán sử dụng hệ tọa độ trong mặt phẳng. Trong chương trình lớp 12, các nội dung đã được học đó sẽ được kế thừa như một kiến thức nền tảng để mở rộng ra không gian ba chiều được gọi là phương pháp tọa độ trong không gian. Nội dung trong chương này xoay quanh các vấn đề về tọa độ điểm, vectơ, phương trình, góc, khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian như đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu,...Sau đây, là nội dung bài học đâu tiên Hệ tọa độ trong không gian. Qua bài học này các em sẽ được tìm hiểu, ôn tập lại những khái niệm đã học, cũng như sẽ thấy được sự khác biệt của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong không gian. Bên cạnh đó các em sẽ biết được các dạng và cách viết phương trình mặt cầu.
Trong không gian, cho ba trục xOx', yOy', zOz' vuông góc với nhau từng đôi một.
Các vectơ \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\overrightarrow k\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx', yOy', zOz' với: \(\left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=\left | \vec{k} \right |=1.\)
Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\vec{u}\) tồn tại duy nhất bộ số \((x,y,z)\) sao cho: \(\overrightarrow{u}=(x;y;z)\)\(\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\)
Bộ số: \((x,y,z)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) sao cho: \(A(x_A,y_A,z_A)\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}=(x_A;y_A;z_A).\)
Bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) được gọi là tọa độ điểm A.
2.4. Phương trình mặt cầu
Khi đó, mặt cầu có tâm \(I(A;B;C)\), bán kính \(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)
Cho ba vectơ \(\vec a=(1;m;2),\vec b=(m+1;2;1),\vec c=(0;m-2;2).\)
a) Tìm m để \(\vec a\) vuông góc \(\vec b.\)
b) Tìm m để \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right|.\)
a) Ta có: \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow m + 1 + 2m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1.\)
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {m + 2;m + 2;3} \right)\)
Do đó:
\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow c } \right|^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {(m + 2)^2} + 9 = {(m - 2)^2} + 4\\ \Leftrightarrow {m^2} + 12m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - 6 \pm \sqrt 3 . \end{array}\)
Trong hệ trục tọa độ Oxy cho \(\overrightarrow a = (1; - 1;0),\,\overrightarrow b = ( - 1;1;2),\,\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j ,\,\overrightarrow d = \overrightarrow i\).
a) Xác định t để vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;2t - 1;0} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow a .\)
b) Tìm các số thực m,n,p để \(\overrightarrow d = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b + p\overrightarrow c\).
a) \(\vec u\)cùng phương với \(\vec a\) khi:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k\\ 0 = 0k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2k\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = (2t - 1)k \end{array} \right. \end{array}\)
Với \(t=\frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ - 1 = 0 \end{array} \right.\) (Vô nghiệm)
Với \(t \ne \frac{1}{2}\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{1}{2}\\ k = \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{2t - 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow t = -\frac{{ 1}}{2}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow c = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j = (1;0;0) - 2(0;1;0) = (1; - 2;0)\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow d = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b + p\overrightarrow c \\ \Leftrightarrow (1;0;0) = m(1; - 1;0) - n( - 1;1;2) + p(1; - 2;0)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m + n + p = 1\\ - m - n - 2p = 0\\ 0m - 2n + 0p = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ n = 0\\ p = - 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy m=2;n=0;p=-1.
Cho A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4). Tìm:
a) Trọng tâm tam giác ABC.
b) Tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành.
c) Tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\ {z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{13}}{3}\\ {y_G} = \frac{8}{3}\\ {z_G} = \frac{{11}}{3} \end{array} \right.\)
Vậy \(G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{8}{3};\frac{{11}}{3}} \right).\)
b) Gọi \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 2;2; - 1)\\ \overrightarrow {DC} = (9 - {x_D};6 - {y_D};4 - {z_D}) \end{array}\)
Để ABCD là hình bình hành thì:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\)
Hay: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = 9 - {x_D}\\ 2 = 6 - {y_D}\\ - 1 = 4 - {z_D} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} = 11\\ {y_D} = 4\\ {z_D} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow D(11;4;5)\)
c) Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD thì:
I là trung điểm của AC \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 6\\ {y_I} = \frac{{y{}_A + {y_C}}}{2} = 3\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow I(6,3,4)\).
Trong mặt phẳng (P) cho hình chóp S.ABC có tọa độ các đỉnh \(A(0;0;0);\,B\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right);C(a;0;0);S(0;0;a)\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\); \(\overrightarrow {SC} = \left( {a;0; - a} \right).\)
\(\cos \left( {AB,SC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {SC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \widehat {\left( {AB,SC} \right)} \approx {69^0}18'.\)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tọa độ các điểm như sau:
\(A(0;0;0);\,B(a;0;0);\,C(0;a\sqrt 3 ,0);A'\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);B'\left( {\frac{{3a}}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right);C'\left( {\frac{a}{2};\frac{{3a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\)
Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh: \(A'M \bot BC.\)
b) Tính góc giữa hai đường thẳng: AA’ và B’C’.
a) Ta có: \(\overrightarrow {A'M} = \left( {0;0; - a\sqrt 3 } \right)\)
\(\overrightarrow {BC} = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0.\)
Vậy AM vuông góc BC.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AA'} = \left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a\sqrt 3 } \right)\\ \overrightarrow {B'C'} = \left( {a; - a\sqrt 3 ;0} \right) \end{array}\)
\(\cos (AA',B'C') = \frac{{\left| {\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'C'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|}} = \frac{1}{4}\)
Vậy: \(\widehat {\left( {AA',B'C'} \right)} \approx {75^0}31'.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;-1;2) điểm B(-1;-1;0). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Gọi I là trung điểm AB ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = - 1\\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = - 1\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I( - 1; - 1;1)\)
Ta có: \(IA = IB = 1.\)
Mặt cầu đường kính AB, nhận điểm I làm tâm, có bán kính R=IA=1 nên có phương trình là:
\({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 1.\)
Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1;-1;2).
Gọi phương trình mặt cầu là: \(\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{ax}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{2by}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{2cz}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{d}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{0}}\,\left( {{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\)
Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2a - 2b + d + 2 = 0\\ -6a - 2b - 4c + d + 14 = 0\\ 2a - 2b - 4c + d + 6 = 0\\ -2a + 2b - 4c + d + 6 = 0 \end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow a = b = 1;\,c = 2;d = 2\)
Kết luận: Phương trình mặt cầu là \(x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+2=0.\)
Ở lớp 10, các em đã được học các dạng toán sử dụng hệ tọa độ trong mặt phẳng. Trong chương trình lớp 12, các nội dung đã được học đó sẽ được kế thừa như một kiến thức nền tảng để mở rộng ra không gian ba chiều được gọi là phương pháp tọa độ trong không gian. Nội dung trong chương này xoay quanh các vấn đề về tọa độ điểm, vectơ, phương trình, góc, khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian như đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu,...Sau đây, là nội dung bài học đâu tiên Hệ tọa độ trong không gian. Qua bài học này các em sẽ được tìm hiểu, ôn tập lại những khái niệm đã học, cũng như sẽ thấy được sự khác biệt của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong không gian. Bên cạnh đó các em sẽ biết được các dạng và cách viết phương trình mặt cầu.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(3;0;0), N(0;0;4). Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;1} \right),\overrightarrow c = \left( { - 4;1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1;3;1} \right),B\left( {1;4;2} \right)\). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm I. Tìm \(k\) biết \(\overrightarrow {IB} = k.\overrightarrow {IA} .\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 12 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 3 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 4 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 5 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 6 trang 68 SGK Hình học 12
Bài tập 3.1 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.2 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.3 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.4 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.5 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.6 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.7 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.8 trang 102 SBT Hình học 12
Bài tập 3.9 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.10 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.11 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.12 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.13 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.14 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.15 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 3.16 trang 103 SBT Hình học 12
Bài tập 1 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 2 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 3 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 4 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 5 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 6 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 7 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 8 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 9 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 10 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 11 trang 81 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 12 trang 82 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 13 trang 82 SGK Hình học 12 NC
Bài tập 14 trang 82 SGK Hình học 12 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 DapAnHay
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(3;0;0), N(0;0;4). Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;1} \right),\overrightarrow c = \left( { - 4;1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1;3;1} \right),B\left( {1;4;2} \right)\). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm I. Tìm \(k\) biết \(\overrightarrow {IB} = k.\overrightarrow {IA} .\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {1;1;3} \right);B\left( {2;3;5} \right);C\left( { - 1;2;6} \right)\). Xác định tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 4), B(-1;1;4), C(0;0;4). Tìm số đo của góc \(\widehat{ABC}\).
Cho \(\overrightarrow a = \left( {0;0;1} \right);\,\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\,\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c = (1;1;1)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z - m = 0\) có bán kính R = 5. Tìm giá trị của m.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \(A\left( {1;2;0} \right);B\left( {3; - 1;1} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và bán kính AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;0;4} \right)\)
Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=(2; -5; 3)\), \(\overrightarrow{b}=(0; 2; -1)\), \(\overrightarrow{c}=(1; 7; 2)\).
a) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4.\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\).
b) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).
Cho ba điểm A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1).
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1), C'=(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Tính:
a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) với \(\overrightarrow{a}(3; 0; -6),\overrightarrow{b}(2; -4; 0)\).
b) \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}\) với \(\overrightarrow{c}(1; -5; 2),\overrightarrow{d}(4; 3; -5)\).
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a) \(\small x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 2y + 1 = 0\).
b) \(\small 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\).
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a) Có đường kính AB với A(4 ; -3 ; 7), B(2 ; 1 ; 3)
b) Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
Trong không gian Oxyz cho ba vecto \(\vec a = (2; - 1;2),\vec b = (3;0;1),\vec c = ( - 4;1; - 1)\). Tìm tọa độ của các vecto \(\vec m\) và \(\vec n\) biết rằng:
a) \(\vec m = 3\vec a - 2\vec b + \vec c\)
b) \(\vec n = 2\vec a + \vec b + 4\vec c\)
Trong không gian Oxyz cho vecto \(\vec a = (1; - 3;4)\).
a) Tìm y0 và z0 để cho vecto \(\vec b = (2;{y_0};{z_0})\) cùng phương với \(\vec a\)
b) Tìm tọa độ của vecto \(\vec c\) biết rằng \(\vec a\) và \(\vec c\) ngược hướng và \(|\overrightarrow {c|} = 2|\vec a|\)
Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0 ; z0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
Cho hai bộ ba điểm:
a) A = (1; 3; 1) , B = (0; 1; 2) , C = (0; 0; 1)
b) M = (1; 1; 1) , N = (-4; 3; 1) , P = (-9; 5; 1)
Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?
Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)
b) \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \)
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \)
b) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \)
Trong không gian cho ba vecto tùy ý \(\vec a,\vec b,\vec c\). Gọi \(\vec u = \vec a - 2\vec b,\vec v = 3\vec b - \vec c,{\rm{\vec w}} = 2\vec c - 3\vec a\).
Chứng tỏ rằng ba vecto \(\vec u,\vec v,{\rm{\vec w}}\) đồng phẳng.
Trong không gian Oxyz cho một vecto \(\vec a\) tùy ý khác vecto \(\vec 0\). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \(\vec a\). Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)
Cho hình tứ diện ABCD.
a) Chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\)
b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: "Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau".
Tính tích vô hướng của hai vecto \(\vec a,\vec b\) trong không gian với các tọa độ đã cho là:
a) \(\vec a = (3;0; - 6),\vec b = (2; - 4;c)\)
b) \(\vec a = (1; - 5;2),\vec b = (4;3; - 5)\)
c) \(\vec a = (0;\sqrt 2 ;\sqrt 3 ),\vec b = (1;\sqrt 3 ; - \sqrt 2 )\)
Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:
a) A(4; -1; 1) , B(2; 1; 0)
b) A(2; 3; 4) , B(6; 0; 4)
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:
A(a; 0 ; 0), B(0; b; 0) , C(0; 0; c)
Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.
b) Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ;
c) Đi qua điểm M(2;-1;-3) và có tâm C(3; -2; 1)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Chứng minh tính chất sau đây có tích có hướng: \(\eqalign{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = - \left[ { \overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right]\cr} \).
Câu trả lời của bạn
Giả sử \(\overrightarrow a = ({x_1};{y_1};{z_1}),\overrightarrow b = ({x_2};{y_2};{z_2}),\overrightarrow c = ({x_3};{y_3};{z_3})\)
\(\eqalign{ &\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| \matrix{ {y_1} \hfill \cr {y_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {z_1} \hfill \cr {z_2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ {z_1} \hfill \cr {z_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {x_1} \hfill \cr {x_2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ {x_1} \hfill \cr {x_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {y_1} \hfill \cr {y_2} \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}) \cr & = - ({y_2}{z_1} - {y_1}{z_2};{z_2}{x_1} - {z_1}{x_2};{x_2}{y_1} - {x_1}{y_2}) \cr & = - \left( {\left| \matrix{ {y_2} \hfill \cr {y_1} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {z_2} \hfill \cr {z_1} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ {z_2} \hfill \cr {z_1} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {x_2} \hfill \cr {x_1} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ {x_2} \hfill \cr {x_1} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {y_2} \hfill \cr {y_1} \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = - \left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right]. \cr} \)
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có: A (1;2;-1), B (2;-1;3), C (-4;7;5). Tính độ dài đường phân giác trong tam giác kẻ từ đỉnh B.
Câu trả lời của bạn
Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ B, giả sử D=(x;y;z).
Ta có \({{DA} \over {DC}} = {{BA} \over {BC}} = {{\sqrt {26} } \over {\sqrt {104} }} = {1 \over 2}.\)
Vì D nằm giữa A,C (phân giác trong ) nên \(\overrightarrow {DA} = - {1 \over 2}\overrightarrow {DC} \) hay
\(\overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {DA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2(1 - x) = x + 4 \hfill \cr 2(2 - y) = y - 7 \hfill \cr 2( - 1 - z) = z - 5 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - {2 \over 3} \hfill \cr y = {{11} \over 3} \hfill \cr z = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(D = \left( { - {2 \over 3};{{11} \over 3};1} \right) \Rightarrow BD = {{2\sqrt {74} } \over 3}.\)
Chứng minh tính chất sau đây có tích có hướng: \(\eqalign{\left[ {k\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = k\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left[ {\overrightarrow a ,k\overrightarrow b } \right] & \cr} \).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{ & k\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {k\left| \matrix{ {y_1} \hfill \cr {y_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {z_1} \hfill \cr {z_2} \hfill \cr} \right|;k\left| \matrix{ {z_1} \hfill \cr {z_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {x_1} \hfill \cr {x_2} \hfill \cr} \right|;k\left| \matrix{ {x_1} \hfill \cr {x_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {y_1} \hfill \cr {y_2} \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = \left( {\left| \matrix{ k{y_1} \hfill \cr {y_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ k{z_1} \hfill \cr {z_2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ k{z_1} \hfill \cr {z_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ k{x_1} \hfill \cr {x_2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ k{x_1} \hfill \cr {x_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ k{y_1} \hfill \cr {y_2} \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = \left[ {k\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]. \cr} \)
Tương tự \(k\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left[ {\overrightarrow a ,k\overrightarrow b } \right].\)
Chứng minh tính chất sau đây có tích có hướng: \(\eqalign{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow a } \right] = \overrightarrow 0\cr} \).
Câu trả lời của bạn
ta có \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow a } \right] = - \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow a } \right]\) , suy ra \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow a } \right] = \overrightarrow 0 \).
Chứng minh tính chất sau đây có tích có hướng: \(\eqalign{\overrightarrow a \left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c \cr} \).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{ & \overrightarrow a .\left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] \cr&= {x_1}\left( {\left| \matrix{ {y_2} \hfill \cr {y_3} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {z_2} \hfill \cr {z_3} \hfill \cr} \right| + {y_1}\left| \matrix{ {z_2} \hfill \cr {z_3} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {x_2} \hfill \cr {x_3} \hfill \cr} \right| + {z_1}\left| \matrix{ {x_2} \hfill \cr {x_3} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {y_2} \hfill \cr {y_3} \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = {x_3}\left( {\left| \matrix{ {y_1} \hfill \cr {y_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {z_1} \hfill \cr {z_2} \hfill \cr} \right| + {y_3}\left| \matrix{ {z_1} \hfill \cr {z_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {x_1} \hfill \cr {x_2} \hfill \cr} \right| + {z_3}\left| \matrix{ {x_1} \hfill \cr {x_2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {y_1} \hfill \cr {y_2} \hfill \cr} \right|} \right) \cr & =\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c \cr} \)
Cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết \({V_{ABCD}} = 5.\) Hãy tìm tọa độ đỉnh D.
Câu trả lời của bạn
Giả sử D (0;y;0) thuộc trục Oy . Ta có :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = (1; - 1;2),\cr&\overrightarrow {AD} = ( - 2;y - 1;1),\cr&\overrightarrow {AC} = (0; - 2;4) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (0; - 4; - 2) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = - 4(y - 1) - 2 = - 4y + 2. \cr} \)
Theo giả thiết \({V_{ABCD}} = 5 \Leftrightarrow {1 \over 6}\left| { - 4y + 2} \right| = 5\)
\( \Leftrightarrow \left| { - 4y + 2} \right| = 30 \Rightarrow y = - 7\text{ hoặc } y = 8.\)
Vậy có hai điểm D trên trục Oy : (0;-7;0) và (0;8;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chứng minh tính chất sau đây có tích có hướng: \(\eqalign{\left| {{{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]}^2}} \right| = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {(\overrightarrow a .\overrightarrow b )^2}. \cr} \).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{ VP &= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {(\overrightarrow a .\overrightarrow b )^2} \cr&= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\cos^2 \alpha \cr & = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}(1 - {\cos ^2}\alpha ) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.{\sin ^2}\alpha \cr} \)
\( = {\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right|^2} = VT\) ( ở đây \(\alpha = (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ))\).
Cho bốn điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4),C(5;-1;0), D(1;2;1). Tính thể tích tứ diện ABCD.
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\eqalign{ & \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 10 \hfill \cr 4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 10 \hfill \cr 4 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 5 \hfill \cr 8 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 5 \hfill \cr 8 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|} \right)\cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= (0;60;0), \cr & \overrightarrow {BD} = (4;3;5) \cr & \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \right].\overrightarrow {BD} } \right|\cr& \;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 6}\left| {0.4 + 60.3 + 0.5} \right| = 30 \cr} \)
Cho bốn điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4),C(5;-1;0), D(1;2;1). Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow {BA} = (5;0;10),\)
\(\overrightarrow {CA} = ( - 3;0;6),\)
\(\overrightarrow {CB} = ( - 8;0; - 4).\)
Do \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 24 - 24 = 0\) nên ABC là tam giác vuông tại C.
\({S_{ABC}} = {1 \over 2}CA.CB = {1 \over 2}.3\sqrt 5 .4\sqrt 5 = 30.\)
Ta lại có \(p = {1 \over 2}(AB + BC + CA) \)
\(= {1 \over 2}(5\sqrt 5 + 3\sqrt 5 + 4\sqrt 5 ) = 6\sqrt 5 .\)
Mặt khác S = p.r, suy ra \(r = {S \over p} = {{30} \over {6\sqrt 5 }} = \sqrt 5 .\)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh \({A'C} \bot (AB'D').\)
Câu trả lời của bạn
Thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ (h.97).Ta có
A(0;0;0); A’(0;0;a); C’(a;a;a); D(0;a;0)
B(a;0;0); D’(0;a;a); B’(a;0;a), C(a;a;0).
Ta có :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {A'C} = (a;a; - a), \cr & \overrightarrow {AB'} = (a;0;a),\overrightarrow {AD'} = (0;a;a) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AB'} = 0,\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AD'} = 0 \cr & \Rightarrow \overrightarrow {A'C} \bot \overrightarrow {{\rm{AB'}}} ,\overrightarrow {A'C} \bot \overrightarrow {AD'} \cr & \Rightarrow A'C \bot mp(AB'D'). \cr} \)
Cho bốn điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4),C(5;-1;0), D(1;2;1). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Câu trả lời của bạn
Gọi I(x;y;z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Từ điều kiện \(I{A^2} = I{B^2},I{A^2} = I{C^2},I{A^2} = I{D^2}\), ta có hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{ - 10x = 20z + 15 = 0 \hfill \cr 6x - 12z + 15 = 0 \hfill \cr - 2x + 6y - 10z + 35 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - {1 \over 2} \hfill \cr y = - {{13} \over 3} \hfill \cr z = 1. \hfill \cr} \right.\)
Vậy mặt cầu cần tìm có tâm \(I\left( { - {1 \over 2}; - {{13} \over 3};1} \right)\) và bán kính là
\(\eqalign{ & R = IC \cr&= \sqrt {{{\left( {5 + {1 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + {{13} \over 3}} \right)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} \cr & = \sqrt {{{121} \over 4} + {{100} \over 9} + 1} = \sqrt {{{1525} \over {36}}.} \cr} \)
Do đó phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là
\({\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {y + {{13} \over 3}} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {{1525} \over {36}}.\)
Hãy viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A=(-1;2;1), B=(0;2;3).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{{\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {(z - 2)^2} = {5 \over 4} \cr} \)
Hãy viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;0;-1), đường kính bằng 8.
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{\;{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\cr} \)
Hãy viết phương trình mặt cầu có tâm I(3;-2;4)và đi qua A(7;2;1).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 41 \cr} \)
Hãy viết phương trình mặt cầu có tâm O(0;0;0) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm (3;-2;4), bán kính bằng 1.
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{{x^2} + {y^2} + {z^2} = 30 \pm 2\sqrt {29}\cr} \)
Hãy viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với mp(Oxy).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{{(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\cr} \)
Hãy viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với mp(Oyz).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{{(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4. \cr} \)
Hãy viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với mp(Oxz).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{{(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\cr} \)
Hãy viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.
Câu trả lời của bạn
Gọi I là tâm mặt cầu, \(I \in Oz\) nên I = (0;0;z).
Theo giả thiết \(A{I^2} = B{I^2}\), ta có phương trình
\({( - 3)^2} + {1^2} + {(z - 2)^2} = {( - 1)^2} + {( - 1)^2} + {(z + 2)^2}\)
\(\Rightarrow 8z = 8 \Rightarrow z = 1\)
Vậy \(I=(0;0;1)\) và \(AI = \sqrt {11} .\)
Phương trình mặt cầu cần tìm là
\({x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 11\)
Viết phương trình mặt cầu đi qua A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
Câu trả lời của bạn
Gọi I là tâm mặt cầu. Vì \(I \in mp(Oxy)\) nên I=(x;y;0). Theo giả thiết, ta có \(A{I^2} = B{I^2} = C{I^2}\), suy ra
\(\Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I( - 2;1;0). \)
Bán kính của mặt cầu là:
\(R = AI = \sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {26} \)
Vậy phương trình mặt cầu là:
\({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 26.\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *