Dùng công thức lượng giác (tổng của hai cosin) tìm tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc ω, cùng biên độ và có độ lệch pha Δφ. Đối chiếu với kết quả nhận được bằng cách dùng Phương pháp đơn giản đồ Fre – nen.
- Tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc ω, cùng biên độ và có độ lệch pha là :
\({\rm{\Delta }}\varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1}.\)
\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {x_1} = Acos(\omega t + {\varphi _1});\\ {x_2} = Acos(\omega t + {\varphi _2}). \end{array}\\ \begin{array}{l} \Rightarrow x = {x_1} + {x_2}\\ = Acos(\omega t + {\varphi _1}) + Acos(\omega t + {\varphi _2}) \end{array}\\ { = A[cos(\omega t + {\varphi _1}) + cos(\omega t + {\varphi _2})]}\\ { = 2Acos\frac{{\omega t + {\varphi _1} + \omega t + {\varphi _2}}}{2}cos\frac{{\omega t + {\varphi _1} - \omega t - {\varphi _2}}}{2}}\\ { = 2Acos\frac{{2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}cos\frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}}\\ { \Leftrightarrow x = 2Acos\frac{{\Delta \varphi }}{2}cos(\omega t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}).} \end{array}\)
+) Biên độ của dao động tổng hợp là:
\(2A\cos \frac{{{\rm{\Delta }}\varphi }}{2}\)
+) Pha ban đầu của dao động tổng hợp :
\(\varphi = \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}\)
Nếu dùng phương pháp giản đồ Fre-nen thì :
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}cos({\varphi _1} - {\varphi _2})}\\ \begin{array}{l} = {A^2} + {A^2} + 2{A^2}cos\Delta \varphi \\ = 2{A^2}(1 + cos\Delta \varphi ) \end{array}\\ \begin{array}{l} = 2{A^2}.2co{s^2}\frac{{\Delta \varphi }}{2}\\ = 4{A^2}co{s^2}\frac{{\Delta \varphi }}{2} \end{array}\\ { \Rightarrow A = 2Acos\frac{{\Delta \varphi }}{2}.} \end{array}\)
Mặt khác:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {tan\varphi = \frac{{{A_1}sin{\varphi _1} + {A_2}sin{\varphi _2}}}{{{A_1}cos{\varphi _1} + {A_2}cos{\varphi _2}}}}\\ \begin{array}{l} = \frac{{Asin{\varphi _1} + Asin{\varphi _2}}}{{Acos{\varphi _1} + Acos{\varphi _2}}}\\ = \frac{{sin{\varphi _1} + sin{\varphi _2}}}{{cos{\varphi _1} + cos{\varphi _2}}} \end{array}\\ \begin{array}{l} = \frac{{2sin\frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}cos\frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}}}{{2cos\frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}cos\frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}}}\\ = tan\frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2} \end{array}\\ { \Rightarrow \varphi = \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \end{array}\)
-- Mod Vật Lý 12