Chứng tỏ rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) \) \(+ \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) luôn có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) luôn có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\).
Đối với bài này ta chứng minh phương trình đã cho có \(\Delta ' \ge 0\).
Lời giải chi tiết
\( \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) \)\(\,+ \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - bx - ax + ab + {x^2} - cx - bx \)\(\,+ bc + {x^2} - ax - cx + ac = 0 \)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc\)\(\, + ac = 0 \)
\( \Delta ' = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ac} \right) \)
\( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc\)\(\, - 3ab - 3ac - 3bc \)
\( = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac \)
\(\displaystyle = {1 \over 2}( 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac\)\(\, - 2bc) \)
\(\displaystyle= {1 \over 2}[ \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\)\(\, + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)] \)
\(\displaystyle = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right] \)
Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;\) \({\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra: \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)
\( \Rightarrow \Delta ' = \displaystyle{1 \over 2}[ {{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} \)\(\,+ {{\left( {a - c} \right)}^2}] \ge 0\)
Vậy phương trình luôn có nghiệm.
-- Mod Toán 9