Tìm mối liên hệ giữa \(a, b, c\) để phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Tìm điều kiện để phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) (1) có nghiệm ta xét hai trường hợp sau:
- TH1: \(a=0\) từ đó tìm nghiệm của (1).
- TH2: \(a\ne 0\), phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\).
Lời giải chi tiết
- TH1: \({{b^2} + {c^2}}=0\) \( \Leftrightarrow b = 0\) và \(c = 0\).
Khi đó phương trình đã cho có dạng: \({a^2} = 0\) (*)
Phương trình (*) có nghiệm khi \(a=0\).
Vậy \(a=b=c=0\) thì phương trình đã cho có vô số nghiệm.
- TH2: \({b^2} + {c^2} \ne 0\)
Phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\)
\({b^2} + {c^2} \ne 0\) suy ra \(b\) và \(c\) không đồng thời bằng \(0.\)
\(\eqalign{
& \Delta ' = {\left( { - ac} \right)^2} - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \cr
& = {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr
& = - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr
& = {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr
& \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr} \)
Vì \({b^2} \ge 0 \) \(\Rightarrow \Delta ' \ge 0\) \( \Leftrightarrow - {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \) \(\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\)
Vậy \({a^2} \le {b^2} + {c^2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.
-- Mod Toán 9