Giải các phương trình sau bằng hai cách (giải phương trình tích; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:
a) \(5{x^2} - 3x = 0\)
b) \(3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0\)
c) \(2{x^2} + 7x = 0\)
d) \(2{x^2} - \sqrt 2 x = 0\)
Hướng dẫn giải
Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích:
\(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A\left( x \right) = 0\\
B\left( x \right) = 0
\end{array} \right.\)
Cách 2: Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\):
+) Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1}\)= \(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\) và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)
+) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\).
+) Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết
a) Cách 1:
\( 5{x^2} - 3x = 0 \)
\( \Leftrightarrow x\left( {5x - 3} \right) = 0 \)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(5x - 3 =0\)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x = {3 \over 5}.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({x_1} = 0;{x_2} =\displaystyle {3 \over 5}\).
Cách 2:
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.5.0 = 9 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3 \cr
& {x_1} = {{3 + 3} \over {2.5}} = {6 \over {10}} = {3 \over 5} \cr
& {x_2} = {{3 - 3} \over {2.5}} = {0 \over {10}} = 0 \cr} \)
Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({x_1} = 0;{x_2} =\displaystyle {3 \over 5}\).
Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.
b) Cách 1:
\( 3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0 \)
\( \Leftrightarrow 3x\left( {\sqrt 5 x + 2} \right) = 0 \)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(\sqrt 5 x + 2 = 0\)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle {x_1} = 0;{x_2} = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\).
Cách 2:
\(\eqalign{
& \Delta = {6^2} - 4.3\sqrt 5 .0 = 36 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {36} = 6 \cr
& {x_1} = {{ - 6 + 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {0 \over {6\sqrt 5 }} = 0 \cr
& {x_2} = {{ - 6 - 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {{ - 12} \over {6\sqrt 5 }} = - {{2\sqrt 5 } \over 5} \cr} \)
Vậy phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle {x_1} = 0;{x_2} = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\).
Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.
c) Cách 1:
\(2{x^2} + 7x = 0 \)
\( \Leftrightarrow x\left( {2x + 7} \right) = 0 \)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(2x + 7 = 0\)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x = - {7 \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;\displaystyle {x_2} = - {7 \over 2}\)
Cách 2:
\(\eqalign{
& \Delta = {7^2} - 4.2.0 = 49 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{ - 7 + 7} \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr
& {x_2} = {{ - 7 - 7} \over {2.2}} = {{ - 14} \over 4} = - {7 \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0;\displaystyle {x_2} = - {7 \over 2}\)
Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.
d) Cách 1:
\( 2{x^2} - \sqrt 2 x = 0 \)
\(\Leftrightarrow x\left( {2x - \sqrt 2 } \right) = 0 \)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(2x - \sqrt 2 = 0\)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \( x _1= 0;\,\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\).
Cách 2:
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - 4.2.0 = 2 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 2 \cr
& {x_1} = {{\sqrt 2 + \sqrt 2 } \over {2.2}} = {{2\sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{\sqrt 2 - \sqrt 2 } \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr} \)
Vậy phương trình có hai nghiệm \( x _1= 0;\,\displaystyle x = {{\sqrt 2 } \over 2}\).
Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.
-- Mod Toán 9