Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:
a) \({x^2} - 3x + 1 = 0\)
b) \({x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0\)
c) \(5{x^2} - 7x + 1 = 0\)
d) \(3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0\)
Hướng dẫn giải
Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu:
+) \(A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\)
+) \(A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\)
Áp dụng: Nếu \(|f(x)|=a; \; (a>0)\) \(\Leftrightarrow f(x)=a\) hoặc \(f(x)=-a.\)
Lời giải chi tiết
a) \({x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = {9 \over 4} - 1\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow \left| {x - {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt 5 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x - {3 \over 2} = {{\sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x - {3 \over 2} = - {{\sqrt 5 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)
b) \({x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 2 } \over 2}x + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = 1 + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {3 \over 2} \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right| = {{\sqrt 6 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x + {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x + {{\sqrt 2 } \over 2} = - {{\sqrt 6 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x = {{ - \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x = - {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{ - \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2};{x_2} = - {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\)
c)
\(\eqalign{
& 5{x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - {7 \over 5}x + {1 \over 5} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2.{7 \over {10}}x + {{49} \over {100}} = {{49} \over {100}} - {1 \over 5} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x - {7 \over {10}}} \right)^2} = {{29} \over {100}} \Leftrightarrow \left| {x - {7 \over {10}}} \right| = {{\sqrt {29} } \over {10}} \cr} \)
\( \Leftrightarrow x - {7 \over {10}} = {{\sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc \(x - {7 \over {10}} = - {{\sqrt {29} } \over {10}}\)
\( \Leftrightarrow x = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc \(x = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}};{x_2} = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\)
d)
\(\eqalign{
& 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x - {2 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow x + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {2 \over 3} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right| = 1 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x + {{\sqrt 3 } \over 3} = 1\) hoặc \(x + {{\sqrt 3 } \over 3} = - 1\)
\( \Leftrightarrow x = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\) hoặc \(x = - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3};{x_2} = - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\)
-- Mod Toán 9