Không vẽ đồ thị, hãy giải thích vì sao các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
\(a)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr
{x - 3y = 2} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 15} \cr
{2y = - 7} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr
{2y = - 7} \cr} } \right.\)
Hướng dẫn giải
Sử dụng:
- Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
\((I) \ \left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \ (d)\cr
{a'x +b'y = c'} \ (d') \cr} } \right.\)
+ Nếu \((d)\) cắt \((d')\) thì hệ \((I)\) có một nghiệm duy nhất.
+ Nếu \((d)\) song song với \((d')\) thì hệ \((I)\) vô nghiệm.
+ Nếu \((d)\) trùng với \((d')\) thì hệ \((I)\) có vô số nghiệm.
Lời giải chi tiết
\(a)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr
{x - 3y = 2} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = \displaystyle{1 \over 3}x - {2 \over 3}} \cr} } \right.} \right.\)
Đường thẳng \(x = 2\) song song với trục tung, đường thẳng \(y = \displaystyle{1 \over 3}x - {2 \over 3}\) cắt trục tung nên hai đường thẳng trên cắt nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
\(b)\left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 15} \cr
{2y = - 7} \cr} } \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle- {3 \over 5}x + 3} \cr
{y=\displaystyle- {7 \over 2}} \cr} } \right.\)
Đường thẳng \(y=\displaystyle- {7 \over 2}\) song song với trục hoành, đường thẳng \(y = \displaystyle - {3 \over 5}x + 3\) cắt trục hoành nên hai đường thẳng trên cắt nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
\(c)\left\{ {\matrix{
{3x = 6} \cr
{2y = - 7} \cr} } \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = \displaystyle- {7 \over 2} } \cr} } \right.\)
Đường thẳng \(x =2\) song song với trục tung, đường thẳng \( y=\displaystyle- {7 \over 2} \) cắt trục tung nên hai đường thẳng trên cắt nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
-- Mod Toán 9