Cho tỉ lệ thức \(\displaystyle {a \over b} = {c \over d}\)
Chứng minh rằng \(\displaystyle {{ac} \over {bd}} = {{{a^2} + {c^2}} \over {{b^2} + {d^2}}}\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(\displaystyle {a \over b} = {c \over d} = k\) thì \(a = kb, c = kd\).
Tính \(\displaystyle {{ac} \over {bd}}\) theo \(k\); \(\displaystyle {{{a^2} + {c^2}} \over {{b^2} + {d^2}}}\) theo \(k\).
Từ đó so sánh hai kết quả tìm được ta có được điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Đặt \(\displaystyle {a \over b} = {c \over d} = k\) thì \(a = kb, c = kd\).
Ta có: \(\displaystyle {{ac} \over {bd}} = {{bk.dk} \over {bd}} = {{bd.{k^2}} \over {bd}} = {k^2}\) (1)
\(\displaystyle {{{a^2} + {c^2}} \over {{b^2} + {d^2}}} = {{{{\left( {bk} \right)}^2} + {{\left( {dk} \right)}^2}} \over {{b^2} + {d^2}}} \)
\(\displaystyle= {{{b^2}{k^2} + {d^2}{k^2}} \over {{b^2} + {d^2}}} = {{({b^2} + {d^2}).{k^2}} \over {{b^2} + {d^2}}} = {k^2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle {{ac} \over {bd}} = {{{a^2} + {c^2}} \over {{b^2} + {d^2}}}\).
-- Mod Toán 7