Chứng minh rằng nếu số tự nhiên \(a\) không phải là số chính phương thì \(\sqrt a\) là số vô tỉ.
Hướng dẫn giải
Chứng minh phản chứng: Ta giả sử \(\sqrt a\) là số hữu tỉ.
Lời giải chi tiết
Giả sử \(\sqrt a\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt a\) viết được thành \(\sqrt a = \displaystyle {m \over n}\) với \(m, n ∈\mathbb N, n ≠ 0\) và \(ƯCLN (m, n) = 1\).
Do \(a\) không phải là số chính phương nên \(\displaystyle {m \over n}\) không phải là số tự nhiên, do đó \(n > 1\).
Ta có \(\sqrt a = \dfrac{m}{n} \Rightarrow a = \dfrac{{{m^2}}}{{{n^2}}} \)\(\Rightarrow {m^2} = a.{n^2}\)
Gọi \(p\) là một ước nguyên tố của \(n\) thì \(m^2\,⋮\, p\), do đó \(m\, ⋮\, p\).
Như vậy \(p\) là ước nguyên tố của cả \(m\) và \(n\), mà \(p\ge 2\). Điều này trái với giả thiết \(ƯCLN (m, n) = 1\).
Vậy \(\sqrt a\) là số vô tỉ.
-- Mod Toán 7