Cho hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = - 5 + t \hfill \cr} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4 - 2t'\\z = 5 + 3t'\end{array} \right.\)
Phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là:
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 4 - t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - 2 + t; \hfill \cr} \right.\)
(C) \({{x - 4} \over { - 2}} = {y \over 3} = {{z - 2} \over 2};\)
(D) \({{x - 4} \over { - 2}} = {y \over 3} = {{z + 2} \over 2}.\)
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;0;1} \right)\); d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( {0; - 2;3} \right).\)
Lấy \(M\left( {1 + t,0, - 5 + t} \right) \in d\) và \(N\left( {0;4 - 2t';5 + 3t'} \right) \in d'.\)
\(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1 - t,4 - 2t',10 + 3t' - t} \right).\)
MN là đường vuông góc chung của d và d’ khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {u'} = 0 \hfill \cr} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 1 - t + 10 + 3t' - t = 0 \hfill \cr
- 8 + 4t' + 30 + 9t' - 3t = 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3t' - 2t = - 9 \hfill \cr
13t' - 3t = - 22 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 3 \hfill \cr
t' = - 1 \hfill \cr} \right..\)
Vậy \(M\left( {4;0; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 4;6;4} \right) = 2\left( { - 2;3;2} \right).\)
Vậy \(MN:{{x - 4} \over { - 2}} = {y \over 3} = {{z + 2} \over 2}.\)
Chọn (D).
-- Mod Toán 12