Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rẳng MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Gọi P là trung điểm SA, ta có MPCN là hình bình hành.
Như vậy MN // PC, suy ra MN // (SAC).
Do BD ⊥ (SAC) nên BD ⊥ MN.
Ta có: d(MN, AC) = d(N, (SAC))
Mà C ∈(SAC) và \(\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{1}{2}\)
Nên \(d\left[ {N,\left( {SAC} \right)} \right] = \frac{1}{2}d\left[ {B,\left( {SAC} \right)} \right] = \frac{1}{2}BO\) (O là giao điểm của AC và BD).
Vậy \(d\left[ {N,\left( {SAC} \right)} \right] = \frac{1}{4}a\sqrt 2 \).
-- Mod Toán 11