Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \((a; + \infty )\)
Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty \) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc
\((a; + \infty )\) sao cho \(f\left( c \right){\rm{ }} < {\rm{ }}0\)Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty \) nên với dãy số
bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \) ta luôn có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = - \infty \). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( {{x_n}} \right)} \right] = + \infty \)Từ định nghĩa suy ra \( - f\left( {{x_n}} \right) > 1\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì \( - f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số \({x_k} \in \left( {a; + \infty } \right)\) sao cho \?(
hay \(f\left( {{x_k}} \right) < - 1 < 0\).Đặt \(c = {x_k}\), ta có \(f\left( c \right){\rm{ }} < {\rm{ }}0\).
-- Mod Toán 11