Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với SA = \(a\sqrt 6 \).
a) Tính khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có: AD //BC và AB = BC = CD = a, đồng thời AC ⊥ CD, AB ⊥ BD, AC = BD = \(a\sqrt 3 \).
Như vậy \(\left. \begin{array}{l}
CD \bot AC\\
CD \bot SA
\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right)\)
Trong mặt phẳng (SAC) dựng AH ⊥ SC tại H ta có AH ⊥ CD và AH ⊥ SC nên AH ⊥ (SCD)
Suy ra AH = d(A,(SCD))
Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao, ta có:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}}\)
\( \Rightarrow A{H^2} = 2{a^2} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \)
Gọi I là trung điểm của AD ta có BI // CD nên BI song song với mặt phẳng (SCD). Từ đó suy ra d(B, (SCD)) = d(I,(SCD)).
Mặt khác AI cắt (SCD) tại D nên
\(d\left( {I,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó: \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
b) Vì AD // BC nên AD // (SBC), do đó d(AD, (SBC)) = d(A,(SBC))
Dựng AD ⊥ BC tại E ⇒ BC ⊥ (SAE)
Dựng AD ⊥ SE tại F ta có:
\(\left. \begin{array}{l}
AF \bot SE\\
AF \bot BC\left( {do\,\,BC \bot \left( {SAE} \right)} \right)
\end{array} \right\} \Rightarrow AF \bot \left( {SBC} \right)\)
Vậy AF = d(A,(SBC)) = d(AD, (SBC))
Xét tam giác vuông AEB ta có:
\(AE = AB.\sin ABE = a\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét tam giác SAE vuông tại A ta có:
\(\frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{9}{{6{a^2}}}\)
Do đó \(A{F^2} = \frac{{6{a^2}}}{9} \Rightarrow AF = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Vậy \(d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = AF = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
-- Mod Toán 11