Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung đểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN
a) Tìm giao điểm A' của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD)
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA' và Mx cắt (BCD) tại M'. Chứng minh B, M', A' thẳng hàng và BM' = M'A' = A'N
c) Chứng minh GA = 3 GA'
Câu a:
Ta có: \(G\in MN\Rightarrow G\in (ABN)\)
Gọi A' là giao điểm của AG và BN (trong mp (ABN))
Vì \((ABN)\cap (BCD)=AN\)
⇒ A' là giao điểm của AG và mp(BCD)
Câu b:
Ta có: Mx // AA'.
Mà M và AA' nằm trên mp(ABN)
⇒ Mx nằm trên mp(ABN)
Gọi M' là giao điểm của Mx và BN.
Vì \((ABN)\cap (BCD)=BN\Rightarrow M'\) là giao điểm của Mx và mp(BCD)
⇒ M', A', B nằm trên đường thẳng BN.
⇒ B, M', A' thẳng hàng.
Trong mp(ABN) xét \(\Delta NM'M\) có: G là trung điểm của MN, A'G // MM' ⇒ A'G là đường trung bình của \(\Delta NM'M\Rightarrow M'A'=A'N \ (2)\)
Từ (1) và (2) ⇒ BM' = M'A' = A'N.
Câu c:
Theo câu b) ta có:
NM' là đường trung bình của \(\Delta BAA'\Rightarrow AA'=2MM' \ (1)\)
A'G là trung bình của \(\Delta NM'M\Rightarrow MM'=2A'G \ (2)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AA'=4GA'\)
\(\Rightarrow GA+GA'=4GA'\Rightarrow GA=3GA'\)
-- Mod Toán 11