Trong kì kiểm tra chất lượng ở hai khối lớp, mỗi khối có 25% học sinh trượt Toán, 15% trượt Lí và 10% trượt Hoá. Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất sao cho
a) Hai học sinh đó trượt Toán;
b) Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó;
c) Hai học sinh đó không bị trượt môn nào;
d) Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một môn.
a) Kí hiệu A1, A2, A
3 lần lượt là các biến cố: Học sinh được chọn từ khối I trượt Toán, Lí, Hoá; B1, B2, B3 lần lượt là các biến cố: Học sinh được chọn từ khối II trượt Toán, Lí, Hoá. Rõ ràng với mọi (i,j), các biến cố Ai và Bj độc lập.Do đó ta có xác suất hai học sinh đó trượt Toán là \(P\left( {{A_1}.{B_1}} \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_1}} \right) = \frac{1}{4}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{16}}\)
b) Kí hiệu A1, A2, A
3 lần lượt là các biến cố: Học sinh được chọn từ khối I trượt Toán, Lí, Hoá; B1, B2, B3 lần lượt là các biến cố: Học sinh được chọn từ khối II trượt Toán, Lí, Hoá. Rõ ràng với mọi (i,j), các biến cố Ai và Bj độc lập.Ta có A1, A2, A3 là ba biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh nên P(A1∪A2∪A3) \( = P({A_1}) + P({A_2}) + P({A_3}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{{20}} + \frac{1}{{10}} = \frac{1}{2}\)
Tương tự ta tính được \(P({B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}) = \frac{1}{2}\)
Xác suất để hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó là
\(\begin{array}{l}
P\left( {\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right) \cap \left( {{B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}} \right)} \right)\\
= P\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right).P\left( {{B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}} \right) = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\end{array}\)
c) Đặt \(A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3},B = {B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}\).
Cần tính \(P\left( {\bar A \cap \bar B} \right)\)
Ta có A1, A2, A3 là ba biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh nên:
\(P({A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}) = P({A_1}) + P({A_2}) + P({A_3}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{{20}} + \frac{1}{{10}} = \frac{1}{2}\)
Tương tự ta tính được \(P({B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}) = \frac{1}{2}\)
Do \(\bar A\) và \(\bar B\) độc lập nên
\(\begin{array}{l}
P\left( {\bar A \cap \bar B} \right) = P\left( {\bar A} \right)P\left( {\bar B} \right)\\
= \left[ {1 - P\left( A \right)} \right]\left[ {1 - P\left( B \right)} \right] = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\end{array}\)
d) Đặt \(A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3},B = {B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}\)
\(\begin{array}{l}
P(A) = P({A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}) = \frac{1}{2},P(B) = P({B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}) = \frac{1}{2}\\
P(A \cap B) = P(A.B) = P(A).P(B) = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\end{array}\)
Cần tính P(A∪B)
Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
-- Mod Toán 11