Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí điểm M trong không gian sao cho MA2 + MB2 + MC2 + MD2 đạt giá trị cực tiểu.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có:
\(\begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + \frac{1}{2}A{B^2}\,\,\left( 1 \right)\\
M{C^2} + M{D^2} = 2M{F^2} + \frac{1}{2}C{D^2}\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)
Cộng (1) và (2) ta có:
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2\left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + C{D^2}} \right)\)
Gọi J là trung điểm của EF, ta có:
\(M{E^2} + M{F^2} = 2M{J^2} + \frac{1}{2}E{F^2}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\\
= 2\left( {2M{J^2} + \frac{1}{2}E{F^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + C{D^2}} \right)\\
\ge E{F^2} + \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + C{D^2}} \right)
\end{array}\)
Vậy MA2 + MB2 + MC2 + MD2 đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ J.
-- Mod Toán 11