Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong tam giác BCD.
a) Dựng đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng (ACD) tại B'.
Chứng minh rằng AB', BM và CD đồng quy tại một điểm.
b) Chứng minh \(\frac{{MB'}}{{BA}} = \frac{{dt\left( {\Delta MCD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}\)
c) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ACB) và (ACD) kẻ từ M cắt (ABD) tại C' và đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ADC) và (ADB) kẻ từ M cắt (ABC) tại D'. Chứng minh rằng\(\frac{{MB'}}{{BA}} + \frac{{MC'}}{{CA}} + \frac{{MD'}}{{DA}} = 1\)
a) MB' qua M và song song với (ABC) và (ABD) ⇒ MB′ song song với giao tuyến AB của hai mặt phẳng này. Ta có: MB′ // AB nên MB' và AB xác định một mặt phẳng. Giả sử MB cắt AB' tại I.
Ta có: I ∈ BM ⇒ I ∈ (BCD); I ∈ AB′ ⇒ I ∈ (ACD)
Suy ra I ∈ (BCD) ∩ (ACD) = CD
Vậy ba đường thẳng AB', BM và CD đồng quy tại I.
b) MB′ // AB ⇒ \(\frac{{MB'}}{{AB}} = \frac{{IM}}{{IB}}\)
Kẻ MM′ ⊥ CD và BH ⊥ CD
Ta có: MM′ // BH \( \Rightarrow \frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{MM'}}{{BH}}\)
Mặt khác:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
dt\left( {\Delta MCD} \right) = \frac{1}{2}CD.MM'\\
dt\left( {\Delta BCD} \right) = \frac{1}{2}CD.BH
\end{array} \right.\\
\frac{{dt\left( {\Delta MCD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}CD.MM'}}{{\frac{1}{2}CD.BH}} = \frac{{MM'}}{{BH}}
\end{array}\)
Do đó: \(\frac{{MB'}}{{AB}} = \frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{MM'}}{{BH}} = \frac{{dt\left( {\Delta MCD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}\)
Vậy \(\frac{{MB'}}{{BA}} = \frac{{dt\left( {\Delta MCD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}\)
c) Tương tự ta có: \(\frac{{MC'}}{{CA}} = \frac{{dt\left( {\Delta MBD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}\)
\(\frac{{MD'}}{{DA}} = \frac{{dt\left( {\Delta MBC} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}\)
Vậy:
\(\begin{array}{l}
\frac{{MB'}}{{BA}} + \frac{{MC'}}{{CA}} + \frac{{MD'}}{{DA}} = \frac{{dt\left( {\Delta MCD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}} + \frac{{dt\left( {\Delta MBD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}} + \frac{{dt\left( {\Delta MBC} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}\\
= \frac{{dt\left( {\Delta MCD} \right) + dt\left( {\Delta MBD} \right) + dt\left( {\Delta MBC} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}} = \frac{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}}{{dt\left( {\Delta BCD} \right)}} = 1
\end{array}\)
-- Mod Toán 11