Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng (α) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
b) Gọi O là giao điểm hai đường chéqo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC.
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right)\parallel AB\\
AB \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right.\) ⇒ (α) ∩ (ABC) = MN và MN // AB
Ta có N ∈ (BCD) và \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right)\parallel CD\\
CD \subset \left( {BCD} \right)
\end{array} \right.\)
Suy ra (α) ∩ (BCD) = NP và NP // CD
Ta có P ∈ (ABD) và \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right)\parallel AB\\
AB \subset \left( {ABD} \right)
\end{array} \right.\) nên (α) ∩ (ABD) = PQ và PQ // AB và (α) ∩ (ACD) = MQ; MQ // CD
Do đó MN // PQ và NP // MQ, Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Ta có: MP ∩ NQ = O. Gọi I là trung điểm của CD.
Trong tam giác ACD có : MQ // CD ⇒ AI cắt MQ tại trung điểm E của MQ.
Trong tam giác ACD có : NP // CD ⇒ BI cắt NP tại trung điểm F của NP.
Vì MNPQ là hình bình hành nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
Q \in \left( {ACD} \right)\\
\left( \alpha \right)\parallel CD
\end{array} \right.\)
EF // MN ⇒ EF // AB
Trong ΔABI ta có EF // AB suy ra : IO cắt AB tại trung điểm J
⇒ I, O, J thẳng hàng
⇒ O ∈ IJ cố định.
Vì M di động trên đoạn AC nên O chạy trong đoạn IJ . Vậy tập hợp các điểm O là đoạn IJ.
-- Mod Toán 11