Gọi A’, B’ và C’ tương ứng là ảnh của ba điểm A, B và C qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AB} = p\overrightarrow {AC} \) thì \(\overrightarrow {A'B'} = p\overrightarrow {A'C'} \), trong đó p là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B' nằm giữa hai điểm A’ và C’.
\(A'{C^{\prime 2}} = {k^2}A{C^2},A'{B^{\prime 2}} = {k^2}A{B^2},\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\overrightarrow {A'B'} - p\overrightarrow {A'C'} } \right)^2} = A'{B^{\prime 2}} - 2p\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'} + {p^2}A'{C^{\prime 2}}\\
= {k^2}\left( {A{B^2} - 2p\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {p^2}A{C^2}} \right) = {k^2}{\left( {\overrightarrow {AB} - p\overrightarrow {AC} } \right)^2} = 0
\end{array}\)
Từ đó suy ra \(\overrightarrow {A\prime B\prime } - p\overrightarrow {A\prime C\prime } = \overrightarrow 0 \)
Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Khi đó \(\overrightarrow {AB} = p\overrightarrow {AC} \), với 0 < t < 1. Áp dụng bài 1.39 ta cũng có \(\overrightarrow {A'B'} = p\overrightarrow {A'C'} \), với 0 < t < 1. Do đó ba điểm A′, B′, C′ thẳng hàng và điểm B' nằm giữa hai điểm A' và C'.
-- Mod Toán 11