Với những giá trị nào của x, ta có mỗi đẳng thức sau ?
a) \(\frac{1}{{\tan x}} = \cot x\)
b) \(\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x\)
c) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\)
d) tanx+cotx = 2sin2x
a) \(VT = \frac{1}{{\tan x}} = \frac{1}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x = VP\)
Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.
ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\)
\( \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2},k \in Z\)
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne k\frac{\pi }{2},k \in Z\).
b) Ta có :
\(VT = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{1}{{1 + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}}\)
\( = \frac{1}{{\frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}} = {\cos ^2}x = VP\)
Do đó VT = VP nếu hai vế xác định
ĐKXĐ: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\)
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\)
c) Ta có :
\(\begin{array}{l}
VP = 1 + {\cot ^2}x = 1 + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\\
= \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = VT
\end{array}\)
Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.
ĐKXĐ: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ Z
Vậy đẳng thức xảy ra khi x ≠ kπ, k ∈ Z.
d) Ta có:
\(VT = \tan x + \cot x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\)
\( = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = \frac{1}{{\sin x\cos x}}\)
\(VP = \frac{2}{{\sin 2x}} = \frac{2}{{2\sin x\cos x}} = \frac{1}{{1\sin x\cos x}}\)
Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.
VT xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos x \ne 0\\
\sin x \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\)
\( \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\)
VP xác định khi \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\).
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne \frac{{k\pi }}{2}\).
-- Mod Toán 11