Gọi A′, B′, C′ tương ứng là ảnh của ba điểm A, B, C qua phép đồng dạng tỉ số k. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'} = {k^2}\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} \).
Theo định nghĩa của phép đồng dạng ta có \(B'C' = kBC\), từ đó suy ra \(B'{C^{\prime 2}} = {k^2}B{C^2}\).
\( \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {A'B'} } \right)^2} = {k^2}{\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2}\)
\( \Rightarrow A'{C^{\prime 2}} - 2\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} + A'{B^{\prime 2}} = {k^2}\left( {A{C^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + A{B^2}} \right)\)
Mà \(A'{C^{\prime 2}} = {k^2}A{C^2},A'{B^{\prime 2}} = {k^2}A{B^2}\) nên \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \) (đpcm).
-- Mod Toán 11