Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
a) \(y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\)
b) \(y = \cos x + \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\)
c) \(y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\)
d) \(y = \sqrt {5 - 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \)
a) 0 ≤ |sinx| ≤ 1 ⇔ −2 ≤ - 2|sinx| ≤ 0
⇔ 3−2 ≤ 3−2|sinx| ≤ 3
⇔ 1 ≤ 3−2|sinx| ≤ 3
Vậy GTLN của hàm số y = 3−2|sinx| là 3 đạt được khi sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
GTNN của hàm số y = 3−2|sinx| là 1 đạt được khi \(\sin x = \pm 1 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z.\)
b) Ta có: \(\cos x + \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\)
\( = 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\cos \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)
Do \( - 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\)
⇔ \( \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le \sqrt 3 \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le \sqrt 3 \)
Vậy hàm số có GTLN là \(\sqrt 3 \) đạt được khi \({\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1}\)
\({ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z}\)
GTNN là \(-\sqrt 3 \) đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = - 1\)
\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in Z\)
c) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\cos }^2}x + 2\cos 2x}\\
\begin{array}{l}
= \frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 2\cos 2x\\
= \frac{{1 + 5\cos 2x}}{2}
\end{array}
\end{array}\)
Do −1 ≤ cos2x ≤ 1
⇔−5 ≤ 5cos2x ≤ 5
⇔ 1−5 ≤ 1+5cos2x ≤ 1+5
⇔ \(\frac{{1 - 5}}{2} \le \frac{{1 + 5\cos 2x}}{2} \le \frac{{1 + 5}}{2}\)
⇔ \( - 2 \le \frac{{1 + 5\cos 2x}}{2} \le 3\)
Vậy hàm số có GTLN là 3
đạt được khi cos2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ, k ∈ Z
GTNN là −2 đạt được khi cos2x = −1 ⇔ 2x = π+k2π ⇔ x = \(\frac{\pi }{2}\) +kπ, k ∈ Z
d) Ta có: \(5 - 2{\cos ^2}x{\sin ^2}x = 5 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\)
Do 0 ≤ sin22x ≤ 1
⇔ −1 ≤ −sin22x ≤ 0
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 0\\
\Leftrightarrow 5 - \frac{1}{2} \le 5 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\
\Leftrightarrow \frac{9}{2} \le 5 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\
\Leftrightarrow \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \le \sqrt {5 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \le \sqrt 5
\end{array}\)
Vậy hàm số có GTLN là \(\sqrt 5 \) đạt được khi −sin22x = 0 ⇔ sin2x = 0
\( \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2},k \in Z\)
GTNN là \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) đạt được khi −sin22x = −1 ⇔ sin2x = ±1
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\
{ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi }\\
{ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi 2,k \in Z.}
\end{array}\)
-- Mod Toán 11