Chứng minh rằng mỗi phép quay đều có thể xem là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục.
Gọi Q(I,α) là phép quay tâm I góc α. Lấy đường thẳng d bất kì qua I. Gọi d′ là ảnh của d qua phép quay tâm I góc \(\frac{\alpha }{2}\). Lấy điểm M bất kì và gọi M′ = Q(I,α)(M). Gọi M′′ là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục d. M1 là ảnh của M′′ qua phép đối xứng qua trục d′. Gọi J là giao của MM′ với d, H là giao của M′′M1 với d′.
Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau:
\(\begin{array}{l}
(IM,I{M_1}) = (IM,IM'') + (IM'',I{M_1})\\
= 2(IJ,IM'') + 2(IM'',IH)\\
= 2(IJ,IH) = 2\frac{\alpha }{2} = \alpha = (IM,IM')
\end{array}\)
Từ đó suy ra M′≡M1. Như vậy M′ có thể xem là ảnh của M sau khi thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai trục d và d′.
-- Mod Toán 11