Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi H là chân đường cao của hình chóp. Một mặt phẳng (P) thay đổi cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại E, F, I, J. Gọi K = EI ∩ FJ. Đặt SE = a, SF = b, SI = c, SJ = d, SK = k, ∠ASH = α.
a) Tìm diện tích của tam giác SEI theo a, c, \(\alpha\).
b) Chứng minh rằng \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{{2\cos \alpha }}{k}\)
Suy ra \(\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d}\)
a) \({S_{\Delta SEI}} = \frac{1}{2}SE.SI.sin2\alpha = \frac{{ac}}{2}\sin 2\alpha \)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
{S_{\Delta SEI}} = {S_{\Delta SIK}} + {S_{\Delta SKE}}\\
\Leftrightarrow \frac{{ac}}{2}\sin 2\alpha = \frac{{kc}}{2}\sin \alpha + \frac{{ak}}{2}\sin \alpha \\
\Leftrightarrow \frac{{ac}}{2}\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{kc}}{2}\sin \alpha + \frac{{ak}}{2}\sin \alpha \\
\Leftrightarrow 2ac.\cos \alpha = k\left( {a + c} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{a + c}}{{ac}} = \frac{{2\cos \alpha }}{k} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{{2\cos \alpha }}{k}
\end{array}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{1}{b} + \frac{1}{d} = \frac{{2\cos \alpha }}{k} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\)
-- Mod Toán 11