Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các số m, n sao cho:
\(\begin{array}{l}
a)\overrightarrow {OM} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \\
b)\overrightarrow {AN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \\
c)\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \\
d)\overrightarrow {MB} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB}
\end{array}\)
a) Ta có \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \) (M là trung điểm của OA)
Từ
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \Rightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \\
\Leftrightarrow \left( {m - \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - \frac{1}{2} = 0\\
n = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = \frac{1}{2}\\
n = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} } \right)\) (do N là trung điểm của OB)
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \) nên \(\overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \)
Từ \(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \Rightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \\
\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\overrightarrow {OA} + \left( {n - \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 1 = 0\\
n - \frac{1}{2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - 1\\
n = \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
c) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) (MN là đường trung bình của tam giác ABC)
Và \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \) nên \(\overrightarrow {MN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \)
Từ
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \Rightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \\
\Leftrightarrow \left( {m + \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {OA} + \left( {n - \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + \frac{1}{2} = 0\\
n - \frac{1}{2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \frac{1}{2}\\
n = \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
d) Ta có: \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} \) (do M là trung điểm của OA)
\(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \) nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \)
Từ
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {BM} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \Rightarrow m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \\
\Leftrightarrow \left( {m + \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {OA} + \left( {n - 1} \right)\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + \frac{1}{2} = 0\\
n - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \frac{1}{2}\\
n = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
-- Mod Toán 10