Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) \({x^2} + \frac{1}{{{x^2} + 1}} < 1\)
b) \(\sqrt {{x^2} - x + 1} + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\)
c) \(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} < 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\)
a) Theo bất đẳng thức Cô – si ta có:
\(\left( {{x^2} + 1} \right) + \frac{1}{{{x^2} + 1}} \ge 2 \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2} + 1}} \ge 1,\forall x\)
Vì vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Tương tự a)
c) Tương tự a) (sử dụng bất đẳng thức)
\(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {b^3}\) và đồng nhất thức \(\sqrt {\sqrt a } = \sqrt[4]{a}\).
-- Mod Toán 10