Chứng minh rằng: \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
Trường hợp 1:
\(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương thì:
\(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \left( {k \in R} \right)\)
và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\)
\(\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow b + k\overrightarrow b } \right| = \left| {1 + k} \right|\left| {\overrightarrow b } \right| \le \left( {1 + \left| k \right|} \right)\left| {\overrightarrow b } \right|\\
\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| k \right|\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a } \right|
\end{array}\)
Trường hợp 2:
\(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương:
Cho điểm O tùy ý, vẽ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b \)
Ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} \) hay \(\vec a + \vec b = \overrightarrow {OB} \Rightarrow \left| {\vec a + \vec b} \right| = OB\) (1)
Mà tam giác ABC có \(OA + AB \ge OB{\rm{ }}\) hay \({\rm{ }}\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \ge OB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
-- Mod Toán 10