Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là: \(\sqrt 3 x - y - \sqrt 3 = 0\), các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Ta có: BC ∩ Ox ≡ B(1; 0)
Đặt xA = a ta có A(a;0) và xC = a ⇒ yC = \(\sqrt 3 a - \sqrt 3 \)
Vậy C(a; \(\sqrt 3 a - \sqrt 3 \))
Từ công thức : \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right)\\
{y_G} = \frac{1}{3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right)
\end{array} \right.\)
Ta có: \(G\left( {\frac{{2a + 1}}{3};\frac{{\sqrt 3 \left( {a - 1} \right)}}{3}} \right)\)
Mà AB = |a - 1|, AC = \(\sqrt 3\)|a - 1|, BC = 2|a - 1|. Do đó:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {a - 1} \right)^2}\)
Ta có:
\(r = \frac{{2S}}{{AB + AC + BC}} = \frac{{\sqrt 3 {{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{3\left| {a - 1} \right| + \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|}} = \frac{{\left| {a - 1} \right|}}{{\sqrt 3 + 1}} = 2\)
TH1: \({a_1} = 2\sqrt 3 + 3 \Rightarrow {G_1}\left( {\frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{3};\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\)
TH2: \({a_2} = - 2\sqrt 3 - 1 \Rightarrow {G_2}\left( {\frac{{4\sqrt 3 - 1}}{3};\frac{{ - 6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\)
-- Mod Toán 10