Cho elip (E): x2 + 4y2 = 16
a) Xác định tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E).
b) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) và vectơ pháp tuyến n = (1;2)
c) Tìm tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng Δ và elip (E). Chứng minh MA = MB.
(E): x2 + 4y2 = 16 \( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
a) Ta có: a2 = 16, b2 = 4
⇒ c2 = a2 - b2 = 12 ⇒ c = \(2\sqrt 3 \)
Vậy (E) có hai tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 3 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 3 ;0} \right)\) và các đỉnh A1(-4;0), A2(4;0), B1(0;-2), B2(0;2)
b) Phương trình Δ có dạng : \(\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - \frac{1}{2}} \right) = 0\) hay x + 2y - 2 = 0
c) Tọa độ của giao điểm của Δ và (E) là nghiệm của hệ :
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 4{y^2} = 16\,\,\,\,(1)\\
x = 2 - 2y\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.\)
Thay (2) vào (1) ta được :
(2 - y)2 + 4y2 = 16 ⇔ (1 - y)2 + y2 = 4 ⇔ 2y2 - 2y - 3 = 0 (3)
Phương trình (3) có hai nghiệm yA, yB thỏa mãn
\(\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = {y_M}\)
Vậy MA = MB.
Ta có: \({y_A} = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2},{y_B} = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\)
\({x_A} = 1 + \sqrt 7 ,{x_B} = 1 - \sqrt 7 \)
Vậy A có tọa độ là \(\left( {1 + \sqrt 7 ;\frac{{1 - \sqrt 7 }}{2}} \right)\) , B có tọa độ là \(\left( {1 - \sqrt 7 ;\frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}} \right)\)
-- Mod Toán 10