Cho elip (E) : \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) và đường thẳng Δ thay đổi có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 luôn thỏa mãn 25A2 + 9B2 = C2. Tính tích khoảng cách từ hai tiêu điểm F1, F2 của (E) đến đường thẳng Δ.
(E): \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Ta có:
a2 = 25, b2 = 9 ⇒ c2 = a2 - b2 ⇒ c = 4
Vậy (E) có hai tiêu điểm là F1(-4;0) và F2(4;0). Ta có :
\(\begin{array}{l}
{d_1} = d\left( {{F_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 4A + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\\
{d_2} = d\left( {{F_2},\Delta } \right) = \frac{{\left| {4A + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}
\end{array}\)
Suy ra:
\({d_1}{d_2} = \frac{{\left| {{C^2} - 16{A^2}} \right|}}{{{A^2} + {B^2}}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Thay C2 = 25A2 + 9B2 vào (1) ta được :
\({d_1}{d_2} = \frac{{\left| {25{A^2} + 9{B^2} - 16{A^2}} \right|}}{{{A^2} + {B^2}}} = \frac{{9\left( {{A^2} + {B^2}} \right)}}{{{A^2} + {B^2}}} = 9\)
Vậy d1d2 = 9
-- Mod Toán 10