Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) \(2m\left( {x - 2} \right) + 4 = \left( {3 - {m^2}} \right)x\)
b) \(\frac{{\left( {m + 3} \right)x}}{{2x - 1}} = 3m + 2\)
c) \(\frac{{8mx}}{{x + 3}} = \left( {4m + 1} \right)x + 1\)
d) \(\frac{{\left( {2 - m} \right)x}}{{x - 2}} = \left( {m - 1} \right)x - 1\)
a) \(2m\left( {x - 2} \right) + 4 = \left( {3 - {m^2}} \right)x \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 4\left( {m - 1} \right)\)
b) ĐKXĐ: \(x \ne \frac{1}{2}\). Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{\left( {m + 3} \right)x}}{{2x - 1}} = 3m + 2 \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)x = \left( {3m + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {5m + 1} \right)x = 3m + 2
\end{array}\)
Nếu m ≠ \( - \frac{1}{5}\) thì phương trình có nghiệm \(x = \frac{{3m + 2}}{{5m + 1}}\)
Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho khi
\(\frac{{3m + 2}}{{5m + 1}} \ne \frac{1}{2} \Leftrightarrow 6m + 4 \ne 5m + 1 \Rightarrow m \ne - 3\)
Nếu m = \( - \frac{1}{5}\) phương trình cuối vô nghiệm.
Kết luận:
Với m = \( - \frac{1}{5}\) hoặc m = -3 phương trình đã cho vô nghiệm.
Với m ≠ \( - \frac{1}{5}\)và m ≠ -3 nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{{3m + 2}}{{5m + 1}}\)
c) ĐKXĐ là x ≠ - 3. Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}
\frac{{8mx}}{{x + 3}} = \left( {4m + 1} \right)x + 1 \Leftrightarrow 8mx = \left[ {\left( {4m + 1} \right)x + 1} \right]\left( {x + 3} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {4m + 1} \right){x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)
Lúc đó phương trình (1) có hai nghiệm
\({x_1} = - \frac{3}{{4m + 1}},{x_2} = - 1\)
Ta có \( - \frac{3}{{4m + 1}} - 3 \Leftrightarrow 4m + 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 0\)
Kết luận:
Với m = 0 hoặc m = \( - \frac{1}{4}\) phương trình đã cho có một nghiệm x = -1.
Với m ≠ 0 và m ≠ \( - \frac{1}{4}\) phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1 và \(x = - \frac{3}{{4m + 1}}\)
d) ĐKXĐ: x ≠ 2. Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}
\frac{{\left( {2 - m} \right)x}}{{x - 2}} = \left( {m - 1} \right)x - 1 \Leftrightarrow \left( {2 - m} \right)x = \left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {m - 1} \right)x - 1} \right]\\
\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2 = 0\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)
Lúc đó phương trình (2) có hai nghiệm
\({x_1} = 1,{x_2} = \frac{2}{{m - 1}}\)
Ta có \(\frac{2}{{m - 1}} \ne 2 \Leftrightarrow m - 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 2\)
Kết luận :
Với m = 1 và m = 2 phương trình đã cho có một nghiệm là x = 1.
Với m ≠ 1 và m ≠ 2 phương trình đã cho có hai nghiệm \(x= 1, x = \frac{2}{{m - 1}}\)
-- Mod Toán 10