Cho ba điểm A(2; 1), B(0; 5), C(-1; -10).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Chứng minh I, G, H thẳng hàng.
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) + Trọng tâm \(G\left( { - 1; - \frac{4}{3}} \right)\)
+ Tọa độ trực tâm H(x; y)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} = \left( {x - 2;y - 1} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \left( {x - 2} \right).\left( { - 5} \right) + \left( {y - 1} \right).\left( { - 15} \right)\\
\overrightarrow {BH} = \left( {x;y - 5} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = x.\left( { - 7} \right) + \left( {y - 5} \right).\left( { - 11} \right)
\end{array}\)
Do là trực tâm
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right).\left( { - 5} \right) + \left( {y - 1} \right).\left( { - 15} \right) = 0\\
x.\left( { - 7} \right) + \left( {y - 5} \right).\left( { - 11} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 11\\
y = - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
+ Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I(x;y)
AI2 = (x - 2)2 + (y - 1)2
BI2 = x2 + (y - 5)2
CI2 = (x + 5)2 + (y + 2)2
\(\begin{array}{l}
A{I^2} = B{I^2} = C{I^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A{I^2} = B{I^2}\\
B{I^2} = C{I^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2}\\
{x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 10} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 7\\
y = - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {IH} = \left( {18; - 1} \right),\overrightarrow {IG} = \left( {6; - \frac{1}{3}} \right)\)
\(\overrightarrow {IH} = \left( {18; - 1} \right),\overrightarrow {IG} = \left( {6; - \frac{1}{3}} \right)\) suy ra I, G, H thẳng hàng.
c) Ta có:
\(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 7 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {85} \)
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: (x + 7)2 + (y + 1)2 = 85
-- Mod Toán 10