Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 và điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.
(E): 4x2 + 9y2 = 36
Xét đường thẳng d đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc k. Ta có phương trình của
d: y - 1 = k(x - 1) hay y = k(x - 1) + 1 (2)
Thay (2) vào (1) ta được
4x + 9[k(x - 1) + 1]2 = 36
⇔ (9k2 + 4)x2 + 18k(1 - k) + 9(1 - k)2 - 36 = 0
Ta có : d cắt (E) tại hai điểm A, B thỏa mãn
MA = MB khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm \({x_A}\), \({x_B}\) sao cho :
\(\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = {x_M}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ 18k(k-1)}}{{2(9{k^2} + 4)}} = 1\) \( \Leftrightarrow 18{k^2} - 18k = 18{k^2} + 8\) \( \Leftrightarrow k = - \dfrac{4}{9}\).
Vậy phương trình của \(d\) là :
\(y = - \dfrac{4}{9}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(4x + 9y - 13 = 0.\)
-- Mod Toán 10