Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\left( {0 < b < a} \right)\). Tính tỉ số: \(\frac{c}{a}\) trong các trường hợp sau:
a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;
b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ;
c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.
a) Ta có: a = 3b ⇒ a2 = 9b2
⇒ a2 = 9(a2 - c2) ⇒ 9c2 = 8a2 ⇒ 3c = \(2\sqrt 2 \)a
Vậy \(\frac{c}{a} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
b) \({\widehat {{F_1}{B_1}F}_2} = {90^0} \Rightarrow O{B_1}_{\kern 1pt} = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2}\)
⇒ b = c ⇒ b2 = c2
⇒ a2 - c2 = c2 ⇒ a2 = 2c2 ⇒ a = c\(\sqrt 2 \)
Vậy \(\frac{c}{a} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
c) A1B1 = 2c ⇒ (A1B1)2= 4c2
⇒ a2 + b2 = 4c2 ⇒ a2 + a2 - c2 = 4c2 ⇒ 2a2 = 5c2
⇒ \(\sqrt 2 a = \sqrt 5 c\)
Vậy \(\frac{c}{a} = \sqrt {\frac{2}{5}} \)
-- Mod Toán 10