Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 6x + 5 = 0 và (C2): x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = 0
a) Tìm tâm và bán kính của (C1) và (C2) .
b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
a) (C1) có tâm có bán kính R1 = 2;
(C2) có tâm có bán kính R2 = 1.
b) Xét đường thẳng Δ có phương trình:
y = kx + m hay kx - y + m = 0. Ta có:
Δ tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}
d\left( {{I_1},\Delta } \right) = {R_1}\\
d\left( {{I_2},\Delta } \right) = {R_2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left| {3k + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2\,\,\left( 1 \right)\\
\frac{{\left| {6k - 3 + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Từ (1) và (2) suy ra: |3k + 2| = 2|6k - 3 + m|
TH1: 3k + m = 2(6k - 3 + m) ⇔ m = 6 - 9k (3)
Thay vào (2) ta được
\(\left| {6k - 3 + 6 - 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {3 - 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)
⇔ 9 - 18k + 9k2 = k2 + 1
⇔ 8k2 - 18k + 8 = 0
⇔ 4k2 - 9k + 4 = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{k_1} = \frac{{9 + \sqrt {17} }}{8}\\
{k_2} = \frac{{9 - \sqrt {17} }}{8}
\end{array} \right.\)
Thay giá trị của k vào (3) ta tính được
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{k_1} = 6 - 9{k_1}\\
{k_2} = 6 - 9{k_2}
\end{array} \right.\)
Vậy ta được hai tiếp tuyến
Δ1: y = k1x + 6 - 9k1
Δ2: y = k2x + 6 - 9k2
TH2:
3k + m = - 2(6k - 3 + m)
⇔ 3m = 6 - 15k
⇔ m = 2 - 5k (4)
Thay vào (2) ta được
\(\left| {6k - 3 + 2 - 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)
⇔ (k - 1)2 = k2 + 1
⇔ k2 - 2k + 1 = k2 + 1
⇔ k = 0
Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2.
Vậy ta được tiếp tuyến Δ3: y = 2
Xét đường thẳng Δ4 vuông góc với Ox tại x0:
Δ4: x - x0 = 0
Δ4 tiếp xúc vơi (C1) và (C2) khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
d\left( {{I_1},{\Delta _4}} \right) = {R_1}\\
d\left( {{I_2},{\Delta _4}} \right) = {R_2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {3 - {x_0}} \right| = 2\\
\left| {6 - {x_0}} \right| = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 1 \vee {x_0} = 5\\
{x_0} = 5 \vee {x_0} = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5
\end{array}\)
Vậy ta được tiếp tuyến: Δ4: x - 5 = 0
-- Mod Toán 10