Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau
a) \(\left| {3x + 2m} \right| = x - m\)
b) \(\left| {2x + m} \right| = \left| {x - 2m + 2} \right|\)
c) \(m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 2 = 0\)
d) \(\frac{{\sqrt {4x - 2} }}{{2x - 1}} = m - 1\)
a) Với \(x \ge - \frac{{2m}}{3}\) phương trình đã cho trở thành
3x + 2m = x - m ⇔ 2x = -3m ⇔ \(x = - \frac{{3m}}{2}\)
Ta có:
\( - \frac{{3m}}{2} \ge - \frac{{2m}}{3} \Leftrightarrow - 9m \ge - 4m \Leftrightarrow 5m \le 0 \Leftrightarrow m \le 0\)
Với \(x < - \frac{{2m}}{3}\): Phương trình đã cho trở thành
- 3x - 2m = x - m ⇔ 4x = - m ⇔ \(x = - \frac{m}{4}\)
\( - \frac{m}{4} \ge - \frac{{2m}}{3} \Leftrightarrow - 3m \ge - 8m \Leftrightarrow 5m < 0 \Leftrightarrow m < 0\)
Kết luận
b) \(\left| {2x + m} \right| = \left| {x - 2m + 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + m = x - 2m + 2\,\,\left( 1 \right)\\
2x + m = - x + 2m - 2\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Phương trình (1) ⇔ x = -3m + 2
Vậy với mọi giá trị của m phương trình có nghiệm là:
x1 = -3m + 2 và \({x_2} = \frac{{m - 2}}{3}\)
c) m = 0 phương trình trở thành -x - 2 = 0 ⇔ x = -2
m ≠ 0 phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có Δ = 4m + 1
Với m < \( - \frac{1}{4}\) phương trình vô nghiệm;
Với m ≥ \( - \frac{1}{4}\) nghiệm của phương trình là
\({x_{1,2}} = \frac{{1 - 2m \pm \sqrt {4m + 1} }}{{2m}}\)
d) Điều kiện của phương trình là m > \(\frac{1}{2}\)
Với điều kiện đó vế trái dương, nên vế phải cũng dương nên m > 1. Lúc đó ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {4x - 2} }}{{2x - 1}} = m - 1 \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {2x - 1} \right)} = \left( {m - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)\\
\Rightarrow \sqrt {\left( {2x - 1} \right)} \left[ {\sqrt 2 - \left( {m - 1} \right)\sqrt {2x - 1} } \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\sqrt {2x - 1} = \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right) = 2\\
\Leftrightarrow x = \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 2}}{{2{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}
\end{array}\)
Giá trị \(x = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\) thỏa mãn điều kiện x > 1/2
Kết luận:
Với m ≤ 1 phương trình vô nghiệm.
Với m > 1 nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\)
-- Mod Toán 10