Cho tam giác đều \(ABC\) có \(O\) là trọng tâm và \(M\) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(D, E, F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {MO} \).
Qua M kẻ các đường thẳng sau: K1K4 // AB, K2K5 // AC, K3K6 // BC
K1, K2 ∈ BC; K3, K4 ∈ AC; K5, K6 ∈ AB. Ta có
(\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{K_1}} + \overrightarrow {M{K_2}} + \overrightarrow {M{K_3}} + \overrightarrow {M{K_4}} + \overrightarrow {M{K_5}} + \overrightarrow {M{K_6}} } \right)\\
= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\\
\frac{1}{2}.3\overrightarrow {MO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO}
\end{array}\)
(Vì MK5AK4, MK3CK2, MK1BK6) là các hình bình hành). Vậy \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {MO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \)
-- Mod Toán 10