Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là những điểm được xác định như sau: \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} \)
a) Chứng minh \(2\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \) với mọi điểm O.
b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
a) Ta có \(3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = 3\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} } \right) - \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right)\)
\( = 3(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OM} ) + (3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} ) = 2\overrightarrow {OM} \)
b) Gọi S, Q và R lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB.
\(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SC} ;\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CQ} \)
\(\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} \Rightarrow \overrightarrow {BP} = \overrightarrow {RB} = \overrightarrow {QS} \)
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BP} \\
= \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CQ} + \overrightarrow {QS} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0
\end{array}\)
Vậy G là trọng tâm của tam giác MNP.
-- Mod Toán 10