Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn \(\Delta \). Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên \(\Delta \). Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H.7.27)
a) Nêu tọa độ của F và phương trình của \(\Delta\)
b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi \(\sqrt{\left ( x-\frac{p}{2} \right )^{2}+y^{2}}=\left | x+\frac{p}{2} \right |\)
Phương pháp giải
+) Giả sử M thuộc (P), ta chứng minh \(\sqrt{\left ( x-\frac{p}{2} \right )^{2}+y^{2}}=\left | x+\frac{p}{2} \right |\).
+) Giả sử \(\sqrt{\left ( x-\frac{p}{2} \right )^{2}+y^{2}}=\left | x+\frac{p}{2} \right |\), ta chứng minh M thuộc (P).
Lời giải chi tiết
a) Do O là trung điểm HF, mà HF = p (tham số tiêu của (P)) nên tọa độ của F là: F\(\left ( \frac{p}{2};0 \right )\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua H\(\left ( \frac{-p}{2};0 \right )\) và vuông góc với trục Ox nên có phương trình: \(x= \frac{-p}{2}\)
b)
Ta có: MF = \(\sqrt{\left ( x-\frac{p}{2} \right )^{2}+y^{2}}\)
d(M, \(\Delta \))= \(\frac{\left | x+\frac{-p}{2} \right |}{\sqrt{1^{2}+0}}=\left | x+\frac{-p}{2} \right |\)
+) Giả sử M thuộc (P), ta chứng minh \(\sqrt{\left ( x-\frac{p}{2} \right )^{2}+y^{2}}=\left | x+\frac{p}{2} \right |\). Thật vậy:
M thuộc (P) => MF = d(M, \(\Delta \))
<=> \(\sqrt{\left ( x-\frac{p}{2} \right )^{2}+y^{2}}=\left | x+\frac{p}{2} \right |\)
+) Giả sử \(\sqrt{\left ( x-\frac{p}{2} \right )^{2}+y^{2}}=\left | x+\frac{p}{2} \right |\), ta chứng minh M thuộc (P). Thật vậy:
\(\sqrt{\left ( x-\frac{p}{2} \right )^{2}+y^{2}}=\left | x+\frac{p}{2} \right |\) => MF = d(M, \(\Delta \))
Vậy M thuộc (P).
-- Mod Toán 10