Cho parabol (P): y = \(\frac{1}{4}x^{2}\). Xét F(0; 1) và đường thẳng \(\Delta \): y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, \(\Delta \)) <=> M(x; y) thuộc (P).
Phương pháp giải
+) Giả sử MF = d(M, \(\Delta \)), ta chứng minh M(x; y) thuộc (P).
+) Giả sử M(x; y) thuộc (P), ta chứng minh MF = d(M, \(\Delta \)).
Lời giải chi tiết
Ta có: MF = \(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}\),
d(M, \(\Delta \))= \(\frac{|y+1|}{\sqrt{1^{2}+0}}=|y+1|\)
+) Giả sử MF = d(M, \(\Delta \)), ta chứng minh M(x; y) thuộc (P). Thật vậy:
MF = d(M, \(\Delta \)) <=> \(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}\) = |y+1|
=> \(x^{2}+(y-1)^{2}\) = \((y+1)^{2}\)
<=> \(x^{2}-4y=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{4}x^{2}\)
Vậy M thuộc (P).
+) Giả sử M(x; y) thuộc (P), ta chứng minh MF = d(M, \(\Delta \)).
M(x; y) thuộc (P) => y = \(\frac{1}{4}x^{2}\) hay \(x^{2}=4y\) thay vào biểu thức tính MF có:
MF = \(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}\) = \(\sqrt{4y+(y-1)^{2}}=\sqrt{y^{2}+2y+1}=\sqrt{(y+1)^{2}}=|y+1|\) = d(M, \(\Delta \))
Vậy MF = d(M, \(\Delta \)).
-- Mod Toán 10