Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng \(\Delta\): ax + by + c = 0 có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}(a; b)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta\)
a) Chứng minh rằng: \(\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM\)
b) Giả sử H có tọa độ (x1; y1). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})=ax_{0}+by_{0}+c\)
c) Chứng minh rằng HM = \(\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
Phương pháp giải
a) Do \(\overrightarrow{n}\) và \(\overrightarrow{HM}\) có cùng phương nên \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\) =|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|\)
b) H có tọa độ (x1; y1) thuộc đường thẳng \(\Delta\), nên thay tọa độ điểm H vào có: \(-a.x_{1}-b.y_{1}=c\)
c) Theo a và b ta có: \(\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} \right |= \sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM = |x_{0}+by_{0}+c|\)
Lời giải chi tiết
a) Do \(\overrightarrow{n}\) và \(\overrightarrow{HM}\) có cùng phương nên \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\) = \(|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|.cos0^{o}=|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|\)
Hoặc: \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\) = \(|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|.cos180^{o}=-|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|\)
Suy ra: \(\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} \right | = |\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|\) = \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM\)
b) \(\overrightarrow{HM}(x_{0}-x_{1}; y_{0}-y_{1}) \)
Ta có: \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})= a.x_{0} + b.y_{0} - a.x_{1}-b.y_{1}\)
Mà H có tọa độ (x1; y1) thuộc đường thẳng \(\Delta\), nên thay tọa độ điểm H vào có: \(-a.x_{1}-b.y_{1}=c\)
Vậy \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})=ax_{0}+by_{0}+c\)
c) Theo a và b ta có:
\(\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} \right |= \sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM = |x_{0}+by_{0}+c|\)
Suy ra: HM = \(\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
-- Mod Toán 10