Cho tứ giác ABCD có AB \(\bot \) CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5. Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.
Phương pháp giải
- Xét tam giác AHD vuông tại H có: HD = \(\sqrt{25-x^{2}}\)
- Xét tam giác BHC vuông tại H có: \(HB^{2}+HC^{2}=BC^{2}\)
- Từ đó ta có và giải phương trình \((x+2)^{2}+\left ( \sqrt{25-x^{2}} +8\right )^{2}=13^{2}\)
+ Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta thực hiện như sau:
- Suy ra diện tích tam giác HAD là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}AH.HD\)
- Suy ra diện tích tam giác HBC là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}HB.HC\)
Lời giải chi tiết
+) Xét tam giác AHD vuông tại H có: HD = \(\sqrt{25-x^{2}}\) (áp dụng định lí Pytago).
+ Xét tam giác BHC vuông tại H có: \(HB^{2}+HC^{2}=BC^{2}\)
=> \((x+2)^{2}+\left ( \sqrt{25-x^{2}} +8\right )^{2}=13^{2}\)
\(\Leftrightarrow 4\sqrt{25-x^{2}}=19-x\)
Bình phương hai vế ta được:
\(16.(25-x^{2}) =361 - 38x +x^{2}\)
\(\Leftrightarrow 17x^{2}-38x-39=0\)
\(\Leftrightarrow\) x = 3 hoặc \(x= \frac{-13}{17}\)
Thử lại phương trình và điều kiện x > 0, giá trị x =3 thỏa mãn.
Vậy AH = x = 3.
+) Diện tích tam giác HAD là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}AH.HD=6\)
Diện tích tam giác HBC là: \(S_{HAD}=\frac{1}{2}HB.HC=36\)
Vậy diện tích tứ giác ABCD là: 36 - 6 = 30 (đơn vị diện tích).
-- Mod Toán 10