Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, \(\widehat {BAC} = \alpha \). Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).
Cho α là tù. Chứng minh:
a) \(\widehat {BDC} = 180^\circ - \alpha \);
b) \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R.\)
Phương pháp giải
a) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên \(\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \)
b) Do đó: \(\sin \widehat {BDC} = \frac{{BC}}{{BD}}\), tức là \(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \frac{a}{{2R}}\).
Hướng dẫn giải
Do α là góc tù ta vẽ được hình như sau:
a) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên \(\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \) (hai góc đối)
Suy ra \(\widehat {BDC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - \alpha .\)
Vậy \(\widehat {BDC} = 180^\circ - \alpha \).
b) Xét tam giác BCD, ta có \(\widehat {BDC} = 180^\circ - \alpha \)
Do đó: \(\sin \widehat {BDC} = \frac{{BC}}{{BD}}\), tức là \(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \frac{a}{{2R}}\).
Mà sin(180° – α) = sin α nên \(\sin \alpha = \frac{a}{{2R}}\) hay \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R.\)
-- Mod Toán 10 DapAnHay